Численные методы линейной алгебры Учебное пособие. Ширапов Д.Ш. - 35 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВСГУТУ | Улан-Удэ

Составители: 

Рубрика: 

2.
В качестве начального барьера выбирается τ=
∑
< ji
2)n(
ij
N/]a[
, где N – количество над-
диагональных элементов. Затем на каждой итерации величина
∑
< ji
2)n(
ij
]a[
уменьшается
на
2(n)
ij
][a и новое значение τ вычисляется по той же формуле.
3.
Значения барьера выбираются так же как в пункте 2, но в качестве критерия проведе-
ния вращения используется условие N
2(n)
ij
][a >
∑
< ji
2)n(
ij
]a[
, n=0,1,2,…
Экономическая стратегия выбора аннулируемого элемента. Выбор номера (i
k
, j
k
) зану-
ляемого элемента матрицы происходит следующим образом:
а) вычисляются суммы внедиагональных элементов матрицы по строкам
S
i
=
∑
≠=
n
ij1,j
2(k)
ij
][a
;
б) выбирается максимальная сумма
;SmaxS
i
i
i
k
=
в) выбирается максимальный элемент, входящий в максимальную сумму
k
i
S
ji
j
ji
kkk
amaxa = , k=0, 1, 2,…
4.3. Степенной метод
Степенной метод [2-4, 6, 9, 11, 12] предназначен для нахождения наибольшего по модулю
собственного значения и соответствующего собственного вектора. Метод является простым,
тем не менее, нечасто используется на практике из-за медленной сходимости. Знакомство с
методом оправданно тем, что на его идее основаны более эффективные методы.
Пусть А=A
*
и
λ
1
<λ
2
<…<λ
n-1
<λ
n
. (4.19)
Зададим произвольный вектор у
0
таким, что
(у
0
, x
n
)≠0
и образуем последовательность
y
k+1
=Ay
k
. (4.20)
Далее строим последовательность скалярных произведений
(y
k
, y
k
), (y
k+1
, y
k
), k=0, 1, 2,…
Покажем, что
)y,y(
)y,Ay(
lim
kk
kk
k ∞→
=
)y,y(
)y,y(
lim
kk
k1k
k
+
∞→
=λ
n
(4.21)
или
)y,y(
)y,y(
kk
k1k+
=λ
n
+О(
k2
n
1n
λ
λ
−
). (4.22)
Разложим вектор у
0
по собственным векторам матрицы А
y
0
=
∑
=
n
1i
ii
xc ,
y
1
=Ay
0
=
∑
=
n
1i
ii
Axc =
∑
=
λ
n
1i
iii
xc ,
y
2
=Ay
1
=
∑
=
λ
n
1i
iii
Axc =
∑
=
λ
n
1i
i
2
ii
xc , 
   2. В качестве начального барьера выбирается τ= ∑ [a ij( n ) ] 2 / N , где N – количество над-
                                                                                                i< j

       диагональных элементов. Затем на каждой итерации величина                                        ∑ [a
                                                                                                        i< j
                                                                                                               (n ) 2
                                                                                                               ij
                                                                                                                   ]    уменьшается

       на [a ij(n) ] 2 и новое значение τ вычисляется по той же формуле.
   3. Значения барьера выбираются так же как в пункте 2, но в качестве критерия проведе-
      ния вращения используется условие N [a ij(n) ] 2 > ∑ [a ij( n ) ] 2 , n=0,1,2,…
                                                                                               i< j

    Экономическая стратегия выбора аннулируемого элемента. Выбор номера (ik, jk) зану-
ляемого элемента матрицы происходит следующим образом:
а) вычисляются суммы внедиагональных элементов матрицы по строкам
                                                                                    n
                                                                       Si=      ∑ [a
                                                                               j=1, j≠ i
                                                                                           (k) 2
                                                                                           ij ] ;

б) выбирается максимальная сумма S i = max S i ;
                                                              k            i

в) выбирается максимальный элемент, входящий в максимальную сумму S i
                                                                                                                 k


                                                   ai    j
                                                              = max a i             j
                                                                                        , k=0, 1, 2,…
                                                        k k           j         k




                                                        4.3. Степенной метод

   Степенной метод [2-4, 6, 9, 11, 12] предназначен для нахождения наибольшего по модулю
собственного значения и соответствующего собственного вектора. Метод является простым,
тем не менее, нечасто используется на практике из-за медленной сходимости. Знакомство с
методом оправданно тем, что на его идее основаны более эффективные методы.
   Пусть А=A* и
                   λ1<λ2<…<λn-1<λn.                          (4.19)
Зададим произвольный вектор у0 таким, что
                                              (у0, xn)≠0
и образуем последовательность
                   yk+1=Ayk .                                        (4.20)
Далее строим последовательность скалярных произведений
                                  (yk, yk), (yk+1, yk), k=0, 1, 2,…
Покажем, что
                                  (Ay k , y k )                   ( y k +1 , y k )
                         lim                       = lim                                =λn              (4.21)
                         k →∞       (y k , y k )         k →∞      (y k , y k )
или
                                                                          2k
                          ( y k +1 , y k )                    λ n −1
                                             =λn+О(                            ).                        (4.22)
                           (y k , y k )                        λn



Разложим вектор у0 по собственным векторам матрицы А
         n
   y0= ∑ c i x i ,
        i =1
                n             n
   y1=Ay0= ∑ c i Ax i = ∑ c i λ i x i ,
               i =1          i =1
                 n                   n
   y2=Ay1= ∑ c i λ i Ax i = ∑ c i λ2i x i ,
               i =1                 i =1

Страницы