Численные методы линейной алгебры Учебное пособие. Ширапов Д.Ш. - 32 стр.

Рассмотрим два варианта существования погрешностей:
   1) δх=0, δλ≠0;
   2) δх≠0, δλ=0.
Последовательно рассмотрим оба варианта.
   Вариант 1. δх=0, δλ≠0.
Тогда из (4.7) имеем
                                        δАхi=δλiхi ,
                                   (yi, δАхi)=δλi(yi, xi),
                                                                       yi x i
                                                           δλ i ≤                     δA .
                                                                      (y i , x i )
              yi x i              1
Отношение                   =           = ω i ≥ 1 называется i-ым коэффициентом перекоса матрицы А,
             (y i , x i )       cos α i
где αi – угол между собственными векторами xi и yi .
   Таким образом,
                                                                δλ i ≤ ω i δA .
Следовательно, если погрешность δА мала и мал i-ый коэффициент перекоса, то мала по-
грешность определяемого i-го собственного значения.
   Отметим, что для симметричной матрицы все ωi=1, поэтому задача нахождения собст-
венных значений симметричной матрицы является устойчивой.
    Вариант 2. δх≠0, δλ=0.
Тогда из (4.7) имеем
                                             Аδхi +δАхi =λiδхi ,
                       (Аδхi, yj)+(δАхi, yj)= λi(δхi, yj) ,               (4.8)
где (Аδхi, yj)=( δхi, A*yj)=(δхi, λjyj)=λj(δхi, yj).
Подставляя последнее в (4.8) получим
                                     λj(δхi, yj)+(δАхi, yj)= λi(δхi, yj),
                       (δхi, yj)=(δАхi, yj)/(λi-λj), при i≠j.             (4.9)
Пусть
                                     n
                            δхi= ∑ β ij x j ,                                                     (4.10)
                                  j=1

тогда
                                      (δхi, yj)=βij(xj, yj)
после подстановки этого выражения в (4.9) получим
                                                              (δAx i , y j )
                                                 βij= ≤                                при i≠j,
                                                          ( x j , y j )(λ i − λ j )

                                         xi     ωj
                            β ij ≤                      δA .                                      (4.11)
                                         x j λi − λ j
Из (4.10), (4.11) видно, что если мала погрешность определения элементов матрицы А и ма-
лы все коэффициенты перекоса, то мала погрешность определения i-го собственного векто-
ра, соответствующего i-му собственному значению.
Следствие 4.1. Если матрица А=A* и все собственные значения простые, то задача нахож-
дения собственных векторов устойчива.