Численные методы линейной алгебры Учебное пособие. Ширапов Д.Ш. - 32 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВСГУТУ | Улан-Удэ

Составители: 

Рубрика: 

Рассмотрим два варианта существования погрешностей:
1)
δх=0, δλ≠0;
2)
δх≠0, δλ=0.
Последовательно рассмотрим оба варианта.
Вариант 1. δх=0, δλ≠0.
Тогда из (4.7) имеем
δАх
i
=δλ
i
х
i
,
(y
i
, δАх
i
)=δλ
i
(y
i
, x
i
),
A
)x,y(
xy
ii
ii
i
δ≤δλ .
Отношение
1
cos
1
)x,y(
xy
i
iii
ii
≥ω=
α
=
называется i-ым коэффициентом перекоса матрицы А,
где
α
i
– угол между собственными векторами x
i
и y
i
.
Таким образом,
A
ii
δω≤δλ .
Следовательно, если погрешность
δА мала и мал i-ый коэффициент перекоса, то мала по-
грешность определяемого i-го собственного значения.
Отметим, что для симметричной матрицы все
ω
i
=1, поэтому задача нахождения собст-
венных значений симметричной матрицы является устойчивой.
Вариант 2. δх≠0, δλ=0.
Тогда из (4.7) имеем
А
δх
i
+δАх
i
=λ
i
δх
i
,
(А
δх
i
, y
j
)+(δАх
i
, y
j
)= λ
i
(δх
i
, y
j
) , (4.8)
где (А
δх
i
, y
j
)=( δх
i
, A
*
y
j
)=(δх
i
, λ
j
y
j
)=λ
j
(δх
i
, y
j
).
Подставляя последнее в (4.8) получим
λ
j
(δх
i
, y
j
)+(δАх
i
, y
j
)= λ
i
(δх
i
, y
j
),
(
δх
i
, y
j
)=(δАх
i
, y
j
)/(λ
i
-λ
j
), при i≠j. (4.9)
Пусть
δх
i
=
∑
=
β
n
1j
jij
x
, (4.10)
тогда
(
δх
i
, y
j
)=β
ij
(x
j
, y
j
)
после подстановки этого выражения в (4.9) получим
β
ij
=
))(y,x(
)y,Ax(
jijj
ji
λ−λ
δ
≤ при i≠j,
A
x
x
ji
j
j
i
ij
δ
λ−λ
ω
≤β
. (4.11)
Из (4.10), (4.11) видно, что если мала погрешность определения элементов матрицы А и ма-
лы все коэффициенты перекоса, то мала погрешность определения i-го собственного векто-
ра, соответствующего i-му собственному значению.
Следствие 4.1. Если матрица А=A
*
и все собственные значения простые, то задача нахож-
дения собственных векторов устойчива. 
Рассмотрим два варианта существования погрешностей:
   1) δх=0, δλ≠0;
   2) δх≠0, δλ=0.
Последовательно рассмотрим оба варианта.
   Вариант 1. δх=0, δλ≠0.
Тогда из (4.7) имеем
                                        δАхi=δλiхi ,
                                   (yi, δАхi)=δλi(yi, xi),
                                                                       yi x i
                                                           δλ i ≤                     δA .
                                                                      (y i , x i )
              yi x i              1
Отношение                   =           = ω i ≥ 1 называется i-ым коэффициентом перекоса матрицы А,
             (y i , x i )       cos α i
где αi – угол между собственными векторами xi и yi .
   Таким образом,
                                                                δλ i ≤ ω i δA .
Следовательно, если погрешность δА мала и мал i-ый коэффициент перекоса, то мала по-
грешность определяемого i-го собственного значения.
   Отметим, что для симметричной матрицы все ωi=1, поэтому задача нахождения собст-
венных значений симметричной матрицы является устойчивой.
    Вариант 2. δх≠0, δλ=0.
Тогда из (4.7) имеем
                                             Аδхi +δАхi =λiδхi ,
                       (Аδхi, yj)+(δАхi, yj)= λi(δхi, yj) ,               (4.8)
где (Аδхi, yj)=( δхi, A*yj)=(δхi, λjyj)=λj(δхi, yj).
Подставляя последнее в (4.8) получим
                                     λj(δхi, yj)+(δАхi, yj)= λi(δхi, yj),
                       (δхi, yj)=(δАхi, yj)/(λi-λj), при i≠j.             (4.9)
Пусть
                                     n
                            δхi= ∑ β ij x j ,                                                     (4.10)
                                  j=1

тогда
                                      (δхi, yj)=βij(xj, yj)
после подстановки этого выражения в (4.9) получим
                                                              (δAx i , y j )
                                                 βij= ≤                                при i≠j,
                                                          ( x j , y j )(λ i − λ j )

                                         xi     ωj
                            β ij ≤                      δA .                                      (4.11)
                                         x j λi − λ j
Из (4.10), (4.11) видно, что если мала погрешность определения элементов матрицы А и ма-
лы все коэффициенты перекоса, то мала погрешность определения i-го собственного векто-
ра, соответствующего i-му собственному значению.
Следствие 4.1. Если матрица А=A* и все собственные значения простые, то задача нахож-
дения собственных векторов устойчива.

Страницы