ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
21
В свою очередь
i
*
ii
ε+δ=δ , где
i
*
i
*
i
yy
~
−=δ - погрешность метода;
*
i
y
~
-
результат применения приближенного метода;
*
iii
y
~
y
~
−=ε - текущая по-
грешность. Значительную роль в текущей погрешности играет округление
промежуточных результатов счета. Погрешность
*
i
δ представляет собой
ошибку, происходящую от замены точного алгоритма приближенным. Эта
погрешность – неустранима.
13. Задания для решения
Цель заданий:
1.
Практическая реализация на ПК различных численных методов реше-
ния ОДУ;
2.
Оценка погрешности использованного метода;
3.
Визуальное сравнение точного и приближенного решений после их
выводов на монитор в графическом виде;
4.
Совершенствование способов программирования.
Задание 1.
Решить методом разложения в ряды:
1.
Получить решение уравнения
yx
y
'y
+
=
, y(1) = 2 включительно до 4-х членов в ряде.
2.
Получить решение дифференциального уравнения
0y'xy''y
=
++
y(0) = 0, y'(0) = 1 включительно до 6-ти членов в ряде.
3.
Найти решение уравнения
0'x1.0x)t1.01(''x
2
=+++
при x(0)= 1, x'(0) = 2.
4.
Найти решение
x
xe''y = при y(0) = 1, y'(0)= 0.
5.
Найти решение
y2
e''y = при y(0) = 0, y'(0) = 1.
Задание 2.
Решить методом последовательных приближений:
1. y' = x - y, y(0) = 1.
2. y' = 1 + y, y(1) = 1.
22
3. y' = y - x
2
, y(0) = 1.
4. y' = x + y, y(0) = 1.
5. y' =
2
xy
, y(0) = 1.
Задание 3.
Решить методом Эйлера:
1.
2x1,0)1(y,
x
xy1
'y
2
≤≤=
+
= .
Точное решение
).
x
1
x(
2
1
)x(y −=
2.
1x0,1)0(y,
y
x2
y'y ≤≤=−= .
Точное решение
.1x2)x(y +=
3.
2x10,y(1),
x
3y
xy' ≤≤=+=
.
Точное решение
).1x(x)x(y
2
−=
4.
2
1
i
f
+
Точное решение
2/x
2
e)x(y =
5.
.2x1,1)1(y,
x
xyy
'y
2
2
≤≤=
+
=
Точное решение
).xln1/(x)x(y
−
=
Задание 4.
Решить методом Рунге-Кутта:
1.
2x1,0)1(y,
x
xlny1
'y ≤≤=
+
−
= .
Точное решение y(x) = lnx.
2.
,0)1(y,
x
yx
'y =
+
= 1≤ x ≤2.
Точное решение y(x) = xlnx.
3.
0)0(y,xy2xe'y
2
x
=−=
−
, 1x0
≤
≤
.
21 22
В свою очередь δ i = δ *i + ε i , где δ *i = ~y i* − y i - погрешность метода; ~yi* - 3. y' = y - x2, y(0) = 1.
4. y' = x + y, y(0) = 1.
результат применения приближенного метода; ε i = ~y i − ~y i* - текущая по- xy
5. y' = , y(0) = 1.
грешность. Значительную роль в текущей погрешности играет округление 2
промежуточных результатов счета. Погрешность δ *i представляет собой
Задание 3.
ошибку, происходящую от замены точного алгоритма приближенным. Эта Решить методом Эйлера:
погрешность – неустранима. 1 + xy
1. y' = , y(1) = 0, 1 ≤ x ≤ 2 .
13. Задания для решения x2
Цель заданий: 1 1
Точное решение y( x ) = ( x − ).
1. Практическая реализация на ПК различных численных методов реше- 2 x
ния ОДУ; 2x
2. y' = y − , y(0) = 1, 0 ≤ x ≤ 1 .
2. Оценка погрешности использованного метода; y
3. Визуальное сравнение точного и приближенного решений после их
выводов на монитор в графическом виде; Точное решение y( x ) = 2x + 1.
4. Совершенствование способов программирования. 3y
3. y' = x + , y(1) = 0, 1 ≤ x ≤ 2 .
x
Задание 1.
Решить методом разложения в ряды: Точное решение y( x ) = x 2 ( x − 1).
f
1. Получить решение уравнения 4. i +
1
2
y 2
y' = , y(1) = 2 включительно до 4-х членов в ряде. Точное решение y( x ) = e x /2
x+y
2. Получить решение дифференциального уравнения y 2 + xy
5. y' = , y(1) = 1, 1 ≤ x ≤ 2.
y' '+ xy'+ y = 0 x2
y(0) = 0, y'(0) = 1 включительно до 6-ти членов в ряде. Точное решение y( x ) = x /(1 − ln x ).
3. Найти решение уравнения
x ' '+ (1 + 0.1t ) x + 0.1x ' 2 = 0 Задание 4.
Решить методом Рунге-Кутта:
при x(0)= 1, x'(0) = 2.
1 − y + ln x
4. Найти решение y' ' = xe x при y(0) = 1, y'(0)= 0. 1. y' = , y(1) = 0, 1 ≤ x ≤ 2 .
x
5. Найти решение y' ' = e 2 y при y(0) = 0, y'(0) = 1. Точное решение y(x) = lnx.
x+y
2. y' = , y(1) = 0, 1≤ x ≤2.
Задание 2. x
Решить методом последовательных приближений: Точное решение y(x) = xlnx.
1. y' = x - y, y(0) = 1. 2
3. y' = xe − x − 2xy, y(0) = 0 , 0 ≤ x ≤ 1 .
2. y' = 1 + y, y(1) = 1.
