Основы вычислительной математики. Выпуск 5. Ширапов Д.Ш - 11 стр.

UptoLike

Рубрика: 

21
В свою очередь
i
*
ii
ε+δ=δ , где
i
*
i
*
i
yy
~
=δ - погрешность метода;
*
i
y
~
-
результат применения приближенного метода;
*
iii
y
~
y
~
=ε - текущая по-
грешность. Значительную роль в текущей погрешности играет округление
промежуточных результатов счета. Погрешность
*
i
δ представляет собой
ошибку, происходящую от замены точного алгоритма приближенным. Эта
погрешностьнеустранима.
13. Задания для решения
Цель заданий:
1.
Практическая реализация на ПК различных численных методов реше-
ния ОДУ;
2.
Оценка погрешности использованного метода;
3.
Визуальное сравнение точного и приближенного решений после их
выводов на монитор в графическом виде;
4.
Совершенствование способов программирования.
Задание 1.
Решить методом разложения в ряды:
1.
Получить решение уравнения
yx
y
'y
+
=
, y(1) = 2 включительно до 4-х членов в ряде.
2.
Получить решение дифференциального уравнения
0y'xy''y
=
++
y(0) = 0, y'(0) = 1 включительно до 6-ти членов в ряде.
3.
Найти решение уравнения
0'x1.0x)t1.01(''x
2
=+++
при x(0)= 1, x'(0) = 2.
4.
Найти решение
x
xe''y = при y(0) = 1, y'(0)= 0.
5.
Найти решение
y2
e''y = при y(0) = 0, y'(0) = 1.
Задание 2.
Решить методом последовательных приближений:
1. y' = x - y, y(0) = 1.
2. y' = 1 + y, y(1) = 1.
22
3. y' = y - x
2
, y(0) = 1.
4. y' = x + y, y(0) = 1.
5. y' =
2
xy
, y(0) = 1.
Задание 3.
Решить методом Эйлера:
1.
2x1,0)1(y,
x
xy1
'y
2
=
+
= .
Точное решение
).
x
1
x(
2
1
)x(y =
2.
1x0,1)0(y,
y
x2
y'y == .
Точное решение
.1x2)x(y +=
3.
2x10,y(1),
x
3y
xy' =+=
.
Точное решение
).1x(x)x(y
2
=
4.
2
1
i
f
+
Точное решение
2/x
2
e)x(y =
5.
.2x1,1)1(y,
x
xyy
'y
2
2
=
+
=
Точное решение
).xln1/(x)x(y
=
Задание 4.
Решить методом Рунге-Кутта:
1.
2x1,0)1(y,
x
xlny1
'y =
+
= .
Точное решение y(x) = lnx.
2.
,0)1(y,
x
yx
'y =
+
= 1 x 2.
Точное решение y(x) = xlnx.
3.
0)0(y,xy2xe'y
2
x
==
, 1x0
.
                                         21                                                                                         22



В свою очередь δ i = δ *i + ε i , где δ *i = ~y i* − y i - погрешность метода; ~yi* -   3. y' = y - x2, y(0) = 1.
                                                                                        4. y' = x + y, y(0) = 1.
результат применения приближенного метода; ε i = ~y i − ~y i* - текущая по-                      xy
                                                                                        5. y' =      , y(0) = 1.
грешность. Значительную роль в текущей погрешности играет округление                              2
промежуточных результатов счета. Погрешность δ *i представляет собой
                                                                                                                          Задание 3.
ошибку, происходящую от замены точного алгоритма приближенным. Эта                      Решить методом Эйлера:
погрешность – неустранима.                                                                      1 + xy
                                                                                        1. y' =        , y(1) = 0, 1 ≤ x ≤ 2 .
                       13. Задания для решения                                                    x2
Цель заданий:                                                                                                        1      1
                                                                                           Точное решение y( x ) = ( x − ).
1. Практическая реализация на ПК различных численных методов реше-                                                   2      x
   ния ОДУ;                                                                                         2x
                                                                                        2. y' = y −     , y(0) = 1, 0 ≤ x ≤ 1 .
2. Оценка погрешности использованного метода;                                                        y
3. Визуальное сравнение точного и приближенного решений после их
   выводов на монитор в графическом виде;                                                    Точное решение y( x ) = 2x + 1.
4. Совершенствование способов программирования.                                                    3y
                                                                                        3. y' = x +   , y(1) = 0, 1 ≤ x ≤ 2 .
                                                                                                    x
                             Задание 1.
Решить методом разложения в ряды:                                                            Точное решение y( x ) = x 2 ( x − 1).
                                                                                              f
1. Получить решение уравнения                                                           4.            i       +
                                                                                                                  1
                                                                                                                  2

                  y                                                                                                        2
          y' =       ,      y(1) = 2    включительно до 4-х членов в ряде.                   Точное решение y( x ) = e x       /2
                 x+y
2.   Получить решение дифференциального уравнения                                                 y 2 + xy
                                                                                        5. y' =       , y(1) = 1, 1 ≤ x ≤ 2.
         y' '+ xy'+ y = 0                                                                        x2
         y(0) = 0, y'(0) = 1               включительно до 6-ти членов в ряде.               Точное решение y( x ) = x /(1 − ln x ).
3.   Найти решение уравнения
         x ' '+ (1 + 0.1t ) x + 0.1x ' 2 = 0                                                                                Задание 4.
                                                                                                Решить методом Рунге-Кутта:
     при x(0)= 1, x'(0) = 2.
                                                                                                  1 − y + ln x
4.   Найти решение y' ' = xe x при y(0) = 1, y'(0)= 0.                                  1.   y' =              , y(1) = 0, 1 ≤ x ≤ 2 .
                                                                                                       x
5.   Найти решение y' ' = e 2 y при y(0) = 0, y'(0) = 1.                                     Точное решение y(x) = lnx.
                                                                                                  x+y
                                                                                        2.   y' =        , y(1) = 0, 1≤ x ≤2.
                            Задание 2.                                                               x
Решить методом последовательных приближений:                                                 Точное решение y(x) = xlnx.
1. y' = x - y, y(0) = 1.                                                                                  2
                                                                                        3.    y' = xe − x − 2xy, y(0) = 0 , 0 ≤ x ≤ 1 .
2. y' = 1 + y, y(1) = 1.