ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
23
Точное решение
2
x2
ex
2
1
)x(y
−
= .
4.
,0)0(y,x2sin
2
1
xcosy'y ==+ 1x0 ≤≤ .
Точное решение
1exsin)x(y
xsin
−+=
−
.
5.
,1)0(y,x2sinytgx'y −
=
=+ 1x0 ≤≤ .
Точное решение
xcos)xcos21()x(y −
=
.
Задание 5.
Решить методом Адамса:
1.
,1)1(y,0yxlny'xy
2
==+−
2x1 ≤≤
.
Точное решение
).xln1/(1)x(y +
=
2.
,0)0(y,01xy'y)1x(
2
==−++ 1x0 ≤≤ .
Точное решение
1x/)1xxln()x(y
22
+++= .
3.
,0)
2
(y,xsinxy'xy
2
=
π
=−
1
2
x
2
+
π
≤≤
π
.
Точное решение
xcosx)x(y −
=
.
4.
,0)0(y,x2ee'y
)x1(xyx
=+=+
−−
1x0 ≤≤ .
Точное решение
2
x)x(y =
.
5.
,e)1(y,ylny'xy
=
=
2x1 ≤≤
.
Точное решение
x
e)x(y = .
Задание 6.
Решить методом Милна:
1. ху' -у (
01)ln(xy)
=
−
, y(1)=e, 1 2x ≤≤ .
Точное решение
x/e)x(y
x
= .
2.
,
2
)1(y,y
x
y
sinx'xy
π
=+=
2x1 ≤≤ .
Точное решение
)x(y = 2x arctg x.
3.
,e)1(y,y)1x('yx
2
=−=
2x1 ≤≤
.
24
Точное решение
x/1
xe)x(y = .
4.
,
2
e
)e(y,xlnx
xlnx
y
'y
2
==− 1xee
+
≤
.
Точное решение
.xln
2
x
)x(y
2
=
5.
1
2
x
2
,0)
2
(y,xsinctgx y'y +
π
≤≤
π
=
π
=− .
Точное решение
.xsin)
2
x()x(y
π
−=
Задание 7.
Задачу Коши для дифференциального уравнения второго порядка
преобразовать к задаче Коши для системы дифференциальных уравнений
первого порядка. Найти решение последней задачи методом Рунге-Кутта
на отрезке [a, b]. Вычисления провести дважды с шагами h и h/2 при h =
0,2. Найти численное решение дифференциального уравнения и оценить
его погрешность формулой Рунге.
1.
2x1 ,2e(1)y' ,ey(1) ,0y)1x(2'y)1x("xy
22
≤≤===−−+−
Точное решение
x2
e)x(y = .
2.
2x1 1,(1)y' 1,y(1) ,x3y'xy"yx
22
≤≤===−+
.
Точное решение
)
x
1
xx2(
2
1
)x(y
2
+−= .
3.
2x1 3,(1)y' 1,y(1) ,0y6"yx
2
≤≤===− .
Точное решение
3
x)x(y = .
4.
2x1 4,(1)y' 1,y(1) ,0y12"yx
2
≤≤===−
.
Точное решение
4
x)x(y = .
5.
2x1 1,(1)y' 0,y(1) ,0'xy"yx
2
≤≤===+ .
Точное решение
xln)x(y
=
.
23 24
Точное решение y( x ) =
1 2 −x 2
x e . Точное решение y( x ) = xe1 / x .
2 y e2
1 4. y'− = x ln x , y (e ) =
, e ≤ xe + 1 .
4. y'+ y cos x = sin 2x , y(0) = 0, 0 ≤ x ≤ 1 . x ln x 2
2
x2
Точное решение y( x ) = sin x + e − sin x − 1 . Точное решение y( x ) = ln x.
2
5. y'+ ytgx = sin 2 x, y(0) = −1, 0 ≤ x ≤ 1 . π π π
Точное решение y( x ) = (1 − 2 cos x ) cos x . 5. y'− y ctgx = sin x , y( ) = 0, ≤ x ≤ +1.
2 2 2
π
Задание 5. Точное решение y( x ) = ( x − ) sin x.
2
Решить методом Адамса:
1. xy'− y 2 ln x + y = 0, y(1) = 1, 1 ≤ x ≤ 2 . Задание 7.
Точное решение y( x ) = 1 /(1 + ln x ). Задачу Коши для дифференциального уравнения второго порядка
преобразовать к задаче Коши для системы дифференциальных уравнений
2. ( x 2 + 1) y'+ xy − 1 = 0, y(0) = 0, 0 ≤ x ≤ 1 .
первого порядка. Найти решение последней задачи методом Рунге-Кутта
Точное решение y( x ) = ln( x + x 2 + 1) / x 2 + 1 . на отрезке [a, b]. Вычисления провести дважды с шагами h и h/2 при h =
0,2. Найти численное решение дифференциального уравнения и оценить
π π π его погрешность формулой Рунге.
3. xy'− y = x 2 sin x,
y( ) = 0, ≤ x ≤ +1 .
2 2 2 1. xy"−( x + 1) y'−2( x − 1) y = 0, y(1) = e 2 , y' (1) = 2e 2 , 1 ≤ x ≤ 2
Точное решение y( x ) = − x cos x .
Точное решение y( x ) = e 2 x .
4. y'+e x − y = e x (1− x ) + 2x, y(0) = 0, 0 ≤ x ≤ 1 .
2. x 2 y"+ xy'− y = 3x 2 , y(1) = 1, y' (1) = 1, 1 ≤ x ≤ 2 .
Точное решение y( x ) = x 2 .
1 1
5. xy' = y ln y, y(1) = e, 1 ≤ x ≤ 2 . Точное решение y( x ) = (2x 2 − x + ) .
2 x
Точное решение y( x ) = e x . 3. x 2 y"−6 y = 0, y(1) = 1, y' (1) = 3, 1 ≤ x ≤ 2 .
Задание 6. Точное решение y( x ) = x 3 .
Решить методом Милна: 4. x 2 y"−12 y = 0, y(1) = 1, y' (1) = 4, 1 ≤ x ≤ 2 .
1. ху' -у ( ln(xy) − 1) = 0 , y(1)=e, 1 ≤ x ≤ 2 .
Точное решение y( x ) = x 4 .
x
Точное решение y( x ) = e / x .
5. x 2 y"+ xy' = 0, y(1) = 0, y' (1) = 1, 1 ≤ x ≤ 2 .
y π Точное решение y( x ) = ln x .
2. xy' = x sin + y, y(1) = , 1 ≤ x ≤ 2 .
x 2
Точное решение y( x ) = 2x arctg x.
3. x 2 y' = ( x − 1) y, y(1) = e, 1 ≤ x ≤ 2 .
