Основы вычислительной математики. Выпуск 5. Ширапов Д.Ш - 9 стр.

UptoLike

Рубрика: 

17
Рис.3.
Теорема 1. Если функции f
1
(x, y
1
, y
2
) и f
2
(x, y
1
, y
2
) - правые части
дифференциальных уравнений системы (9.1) - непрерывны вместе со
своими частными производными по y
1
и y
2
в некоторой области D трех-
мерного пространства, то для любой точки (x
0
, y
10
, y
20
)D система (9.1)
имеет единственное решение, удовлетворяющее начальным условиям
y
1
(x
0
) = y
10
, y
2
(x
0
) = y
20
. (9.2)
Задача Коши для системы (9.1) состоит в нахождении решения
удовлетворяющего начальным условием (9.2).
Постановка задачи Коши для системы n дифференциальных урав-
нений первого порядка аналогична задаче (9.1) - (9.2), а именно: требуется
найти решение системы
=
=
=
)y,...,y,y,x(fy
),y,...,y,y,x(fy
),y,...,y,y,x(fy
n21n
'
n
n212
'
2
n211
'
1
(9.3)
при начальных условиях
y
1
(x
0
) = y
10
, y
2
(x
0
) = y
20
, …, y
n
(x
0
) = y
n0
. (9.4)
18
Теорема существования и единственности решения задачи Коши
(9.3) - (9.4) имеет формулировку, аналогичную приведенной для частного
случая n = 2.
Если ввести векторные обозначения
Y(x)=
)x(y
)x(y
)x(y
n
2
1
, Y'(x)=
)x(y
)x(y
)x(y
'
n
'
2
'
1
, F(x, y)=
)y,x(f
)y,x(f
)y,x(f
n
2
1
, Y
0
=
0n
20
10
y
y
y
,
то задача Коши (9.3) - (9.4) в векторной форме запишется так:
Y' = F(x, y), Y(x
0
) = Y
0
. (9.5)
Численное решения задачи Коши (9.5) состоит в том, что на от-
резке [a, b] требуется получить приближенные значения координат векто-
ра Y(x) в узлах сетки x
i
( m,1i = ).
Обозначим вектор решения через Y
i
Y(x
i
) ( m,1i = ), а его коорди-
наты - через
i
k
y ( n,1k = ; m,1i = ) так, что
i
k
y )x(y
ik
или
y
i
=
ni
i2
i1
y
y
y
y(x
i
) =
)x(y
)x(y
)x(y
in
i2
i1
( m,1i = ).
Будем искать решение на сетке с шагом h = (b - a)/m.
Погрешность численного метода оценивается формулой,
mi1
i
}max{
δ
=δ , где δ
i
- погрешность решения на сетке с шагом h в точке x
i
|})(xy(h)y{|max(h)д
ikki
ni1
i
=
.
На практике погрешность в точке x
i
оценивается по формуле Рунге, анало-
гичной (4.5). А именно, пусть
Y
i
(h) =
)h(y
)h(y
)h(y
ni
i2
i1
, Y
i
(h/2) =
)2/h(y
)2/h(y
)2/h(y
ni
i2
i1
значения численного решения в
точке x
i
, полученные для шагов h и h/2, соответственно. Тогда погреш-
ность
δ
i
в точке x
i
для вычислений с шагом h/2 выражается формулой
y
2
x
y
1
Р
0
(
x
0
,y
1
0
,y
2
0
)