Основы вычислительной математики. Выпуск 5. Ширапов Д.Ш - 9 стр.

                                     17                                                                                     18



                                                                                       Теорема существования и единственности решения задачи Коши
                           y2                                                  (9.3) - (9.4) имеет формулировку, аналогичную приведенной для частного
                                                                               случая n = 2.
                                                                                       Если ввести векторные обозначения
                                                                                       y1 ( x )       y 1' ( x )    f 1 ( x , y )          y 10 
                                 Р0(x0,y10,y20)                                                       '                                           
                                                                                         y (x)         y (x)            f ( x , y)             y
                                                                               Y(x)=  2  , Y'(x)=  2  , F(x, y)=  2                 , Y0 =  20  ,
                                                                                      − − −                           − − −                 − − −
                                                                                                     − − −                                        
                                                                                       y n ( x )    y ' ( x )     
                                                                                                                         f n ( x, y)         
                                                                                                                                                 y n 0 
                                                                                                        n 
                                                                               то задача Коши (9.3) - (9.4) в векторной форме запишется так:
                                                       y1                      Y' = F(x, y), Y(x0) = Y0.                                     (9.5)
                                                                                      Численное решения задачи Коши (9.5) состоит в том, что на от-
                                                                               резке [a, b] требуется получить приближенные значения координат векто-
            x
                                                                               ра Y(x) в узлах сетки xi     ( i = 1, m ).

                                   Рис.3.                                            Обозначим вектор решения через Yi ≈ Y(xi) ( i = 1, m ), а его коорди-
                                                                               наты - через y k i ( k = 1, n ; i = 1, m ) так, что y k i ≈ y k ( x i ) или
        Теорема 1. Если функции f1(x, y1, y2) и f2(x, y1, y2) - правые части
дифференциальных уравнений системы (9.1) - непрерывны вместе со                      y1i             y1 ( x i ) 
                                                                                                                  
своими частными производными по y1 и y2 в некоторой области D трех-                    y                 y (x )
                                                                               yi =  2i  ≈ y(xi) =  2 i               ( i = 1, m ).
мерного пространства, то для любой точки (x0, y10, y20)∈D система (9.1)             − −             − − − 
имеет единственное решение, удовлетворяющее начальным условиям                                                    
y1(x0) = y10, y2(x0) = y20.                                       (9.2)              y ni          y n ( x i )
        Задача Коши для системы (9.1) состоит в нахождении решения             Будем искать решение на сетке с шагом h = (b - a)/m.
удовлетворяющего начальным условием (9.2).                                              Погрешность численного метода оценивается формулой,
        Постановка задачи Коши для системы n дифференциальных урав-            δ = max{δ i } , где δi - погрешность решения на сетке с шагом h в точке xi
                                                                                      1≤i ≤ m
нений первого порядка аналогична задаче (9.1) - (9.2), а именно: требуется
найти решение системы                                                          д i (h) = max{| y ki (h) − y k (x i ) |} .
                                                                                         1≤i ≤ n
 y1' = f 1 ( x , y1 , y 2 ,..., y n ),                                        На практике погрешность в точке xi оценивается по формуле Рунге, анало-
 '                                                                            гичной (4.5). А именно, пусть
 y 2 = f 2 ( x , y 1 , y 2 ,..., y n ),
                                                                  (9.3)                y 1i (h )           y 1i (h / 2) 
− − −                                                                                                                     
 '                                                                                       y (h )                y (h / 2)
 y n = f n ( x , y1 , y 2 ,..., y n )                                         Yi(h) =  2i  , Yi(h/2) =  2i                  значения численного решения в
                                                                                       − − −               − − − − − 
при начальных условиях                                                                                                     
y1(x0) = y10, y2(x0) = y20, …, yn(x0) = yn0.                       (9.4)                y ni (h )         y ni (h / 2) 
                                                                               точке xi, полученные для шагов h и h/2, соответственно. Тогда погреш-
                                                                               ность δi в точке xi для вычислений с шагом h/2 выражается формулой