ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
17
Рис.3.
Теорема 1. Если функции f
1
(x, y
1
, y
2
) и f
2
(x, y
1
, y
2
) - правые части
дифференциальных уравнений системы (9.1) - непрерывны вместе со
своими частными производными по y
1
и y
2
в некоторой области D трех-
мерного пространства, то для любой точки (x
0
, y
10
, y
20
)∈D система (9.1)
имеет единственное решение, удовлетворяющее начальным условиям
y
1
(x
0
) = y
10
, y
2
(x
0
) = y
20
. (9.2)
Задача Коши для системы (9.1) состоит в нахождении решения
удовлетворяющего начальным условием (9.2).
Постановка задачи Коши для системы n дифференциальных урав-
нений первого порядка аналогична задаче (9.1) - (9.2), а именно: требуется
найти решение системы
=
−−−
=
=
)y,...,y,y,x(fy
),y,...,y,y,x(fy
),y,...,y,y,x(fy
n21n
'
n
n212
'
2
n211
'
1
(9.3)
при начальных условиях
y
1
(x
0
) = y
10
, y
2
(x
0
) = y
20
, …, y
n
(x
0
) = y
n0
. (9.4)
18
Теорема существования и единственности решения задачи Коши
(9.3) - (9.4) имеет формулировку, аналогичную приведенной для частного
случая n = 2.
Если ввести векторные обозначения
Y(x)=
−−−
)x(y
)x(y
)x(y
n
2
1
, Y'(x)=
−−−
)x(y
)x(y
)x(y
'
n
'
2
'
1
, F(x, y)=
−−−
)y,x(f
)y,x(f
)y,x(f
n
2
1
, Y
0
=
−−−
0n
20
10
y
y
y
,
то задача Коши (9.3) - (9.4) в векторной форме запишется так:
Y' = F(x, y), Y(x
0
) = Y
0
. (9.5)
Численное решения задачи Коши (9.5) состоит в том, что на от-
резке [a, b] требуется получить приближенные значения координат векто-
ра Y(x) в узлах сетки x
i
( m,1i = ).
Обозначим вектор решения через Y
i
≈ Y(x
i
) ( m,1i = ), а его коорди-
наты - через
i
k
y ( n,1k = ; m,1i = ) так, что
i
k
y ≈ )x(y
ik
или
y
i
=
−−
ni
i2
i1
y
y
y
≈ y(x
i
) =
−−−
)x(y
)x(y
)x(y
in
i2
i1
( m,1i = ).
Будем искать решение на сетке с шагом h = (b - a)/m.
Погрешность численного метода оценивается формулой,
mi1
i
}max{
≤≤
δ
=δ , где δ
i
- погрешность решения на сетке с шагом h в точке x
i
|})(xy(h)y{|max(h)д
ikki
ni1
i
−
=
≤≤
.
На практике погрешность в точке x
i
оценивается по формуле Рунге, анало-
гичной (4.5). А именно, пусть
Y
i
(h) =
−−−
)h(y
)h(y
)h(y
ni
i2
i1
, Y
i
(h/2) =
−−−−−
)2/h(y
)2/h(y
)2/h(y
ni
i2
i1
значения численного решения в
точке x
i
, полученные для шагов h и h/2, соответственно. Тогда погреш-
ность
δ
i
в точке x
i
для вычислений с шагом h/2 выражается формулой
y
2
x
y
1
Р
0
(
x
0
,y
1
0
,y
2
0
)
17 18
Теорема существования и единственности решения задачи Коши
y2 (9.3) - (9.4) имеет формулировку, аналогичную приведенной для частного
случая n = 2.
Если ввести векторные обозначения
y1 ( x ) y 1' ( x ) f 1 ( x , y ) y 10
Р0(x0,y10,y20) '
y (x) y (x) f ( x , y) y
Y(x)= 2 , Y'(x)= 2 , F(x, y)= 2 , Y0 = 20 ,
− − − − − − − − −
− − −
y n ( x ) y ' ( x )
f n ( x, y)
y n 0
n
то задача Коши (9.3) - (9.4) в векторной форме запишется так:
y1 Y' = F(x, y), Y(x0) = Y0. (9.5)
Численное решения задачи Коши (9.5) состоит в том, что на от-
резке [a, b] требуется получить приближенные значения координат векто-
x
ра Y(x) в узлах сетки xi ( i = 1, m ).
Рис.3. Обозначим вектор решения через Yi ≈ Y(xi) ( i = 1, m ), а его коорди-
наты - через y k i ( k = 1, n ; i = 1, m ) так, что y k i ≈ y k ( x i ) или
Теорема 1. Если функции f1(x, y1, y2) и f2(x, y1, y2) - правые части
дифференциальных уравнений системы (9.1) - непрерывны вместе со y1i y1 ( x i )
своими частными производными по y1 и y2 в некоторой области D трех- y y (x )
yi = 2i ≈ y(xi) = 2 i ( i = 1, m ).
мерного пространства, то для любой точки (x0, y10, y20)∈D система (9.1) − − − − −
имеет единственное решение, удовлетворяющее начальным условиям
y1(x0) = y10, y2(x0) = y20. (9.2) y ni y n ( x i )
Задача Коши для системы (9.1) состоит в нахождении решения Будем искать решение на сетке с шагом h = (b - a)/m.
удовлетворяющего начальным условием (9.2). Погрешность численного метода оценивается формулой,
Постановка задачи Коши для системы n дифференциальных урав- δ = max{δ i } , где δi - погрешность решения на сетке с шагом h в точке xi
1≤i ≤ m
нений первого порядка аналогична задаче (9.1) - (9.2), а именно: требуется
найти решение системы д i (h) = max{| y ki (h) − y k (x i ) |} .
1≤i ≤ n
y1' = f 1 ( x , y1 , y 2 ,..., y n ), На практике погрешность в точке xi оценивается по формуле Рунге, анало-
' гичной (4.5). А именно, пусть
y 2 = f 2 ( x , y 1 , y 2 ,..., y n ),
(9.3) y 1i (h ) y 1i (h / 2)
− − −
' y (h ) y (h / 2)
y n = f n ( x , y1 , y 2 ,..., y n ) Yi(h) = 2i , Yi(h/2) = 2i значения численного решения в
− − − − − − − −
при начальных условиях
y1(x0) = y10, y2(x0) = y20, …, yn(x0) = yn0. (9.4) y ni (h ) y ni (h / 2)
точке xi, полученные для шагов h и h/2, соответственно. Тогда погреш-
ность δi в точке xi для вычислений с шагом h/2 выражается формулой
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 7
- 8
- 9
- 10
- 11
- …
- следующая ›
- последняя »
