Основы вычислительной математики. Выпуск 5. Ширапов Д.Ш - 8 стр.

UptoLike

Рубрика: 

15
3) находим второе приближение
)2(
i
y по формуле
)yy4y(
3
h
yy
)1('
i
'
1i
'
2i2i
)2(
i
+++=
(i = 4, 5, 6, …). (7.4)
Милн показал, что абсолютная погрешность значения
)2(
i
y приближенно
равна
.yy
29
1
)1(
i
)2(
i
i
=ε (7.5)
Поэтому, если
ε
ε
i
, где
ε
- заданная предельная погрешность решения,
то можно положить
)2(
i
i
yy и ).y,x(fy
)2(
i
i
'
i
=
Далее переходим к вычислению следующего значения
1i
y
+
, повторяя ука-
занную выше схему. В случае, если точность
ε
не обеспечена, следует
уменьшить шаг h и сделать пересчет.
Замечания:
Суммарная ошибка метода Милна есть величина порядка h
4
.
Метод Милна не обладает устойчивостью, поэтому его рекомендуют ис-
пользовать, когда предполагаемое число шагов не велико.
8. Явная и неявная схемы аппроксимации задачи Коши
Рассматривается задача Коши
y' = f(x, y), y(x
0
) = y
0
. (8.1)
Сделаем аппроксимацию (8.1) правой разностью
;n,1i),y,x(f
h
yy
ii
i1i
==
+
y
i+1
= y
i
+ h f (x
i
, y
i
) - явная схема, потому что формула дает возможность
вычислить значения y
i+1
в точке x
i+1
по известному значению y
i
.
Сделаем аппроксимацию (8.1) левой разностью
;n,1i),y,x(f
h
yy
ii
1ii
==
)y,x(hfyy
ii1ii
+=
- неявная схема, потому что по этой формуле значе-
ние y
i
в точке x
i
вычисляется с использованием в f(x
i
, y
i
) вычисляемого
значения y
i
.
Сделаем аппроксимацию (8.1) центральной разностью
;n,1i),y,x(f
h2
yy
ii
1i1i
==
+
16
Эта схема незамкнутая, потому что система состоит из n уравнений при
n+1 неизвестных. Замкнуть систему можно по-разному, но чтобы не поте-
рять второй порядок точности аппроксимации, сделаем следующее
f(x
i,
y
i
) = x(f[
2
1
I-1,
y
i-1
)+ f (x
i+1,
y
i+1
)].
Тогда
[]
)y,x(f)y,x(f
2
1
h2
yy
1i1i1i1i
1i1i
++
+
+=
или
[]
.)y,x(f)y,x(f
2
1
h2
yy
1i1iii
i1i
++
+
+=
В этом случае n +1 уравнением будет
[]
.)y,x(f)y,x(f
2
h
yy
1i1iiii1i +++
++=
9. Решение системы дифференциальнных
уравнений первого порядка
Пусть дана система двух дифференцированных уравнений первого
порядка
=
=
).y,y,x(fy
),y,y,x(fy
212
'
2
211
'
1
(9.1)
Решением системы (9.1) называется пара функций ϕ
1
(x) и ϕ
2
(x), при под-
становке которых в систему получаются тождества
)).x(),x(,x(f)x());x(),x(,x(f)x(
212
'
2211
'
1
ϕϕϕϕϕϕ
Решению
ϕ=
ϕ=
)x(y
),x(y
22
11
системы уравнений (9.1) соответствует интегральная кривая в трехмерном
пространстве (x, y
1
, y
2
) (см. рис.3).
Условия, при которых через точку P
0
(x
0
, y
10
, y
20
) области D трехмерного
пространства проходит единственная интегральная кривая, содержатся в
теореме существования и единственности решения.