Основы вычислительной математики. Выпуск 5. Ширапов Д.Ш - 8 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВСГУТУ | Улан-Удэ

Составители: 

Рубрика: 

15
3) находим второе приближение
)2(
i
y по формуле
)yy4y(
3
h
yy
)1('
i
'
1i
'
2i2i
)2(
i
+++=
−−−
(i = 4, 5, 6, …). (7.4)
Милн показал, что абсолютная погрешность значения
)2(
i
y приближенно
равна
.yy
29
1
)1(
i
)2(
i
i
−=ε (7.5)
Поэтому, если
ε
≤
ε
i
, где
ε
- заданная предельная погрешность решения,
то можно положить
)2(
i
i
yy ≈ и ).y,x(fy
)2(
i
i
'
i
=
Далее переходим к вычислению следующего значения
1i
y
+
, повторяя ука-
занную выше схему. В случае, если точность
ε
не обеспечена, следует
уменьшить шаг h и сделать пересчет.
Замечания:
Суммарная ошибка метода Милна есть величина порядка h
4
.
Метод Милна не обладает устойчивостью, поэтому его рекомендуют ис-
пользовать, когда предполагаемое число шагов не велико.
8. Явная и неявная схемы аппроксимации задачи Коши
Рассматривается задача Коши
y' = f(x, y), y(x
0
) = y
0
. (8.1)
Сделаем аппроксимацию (8.1) правой разностью
;n,1i),y,x(f
h
yy
ii
i1i
==
−
+
y
i+1
= y
i
+ h f (x
i
, y
i
) - явная схема, потому что формула дает возможность
вычислить значения y
i+1
в точке x
i+1
по известному значению y
i
.
Сделаем аппроксимацию (8.1) левой разностью
;n,1i),y,x(f
h
yy
ii
1ii
==
−
−
)y,x(hfyy
ii1ii
+=
−
- неявная схема, потому что по этой формуле значе-
ние y
i
в точке x
i
вычисляется с использованием в f(x
i
, y
i
) вычисляемого
значения y
i
.
Сделаем аппроксимацию (8.1) центральной разностью
;n,1i),y,x(f
h2
yy
ii
1i1i
==
−
−+
16
Эта схема незамкнутая, потому что система состоит из n уравнений при
n+1 неизвестных. Замкнуть систему можно по-разному, но чтобы не поте-
рять второй порядок точности аппроксимации, сделаем следующее
f(x
i,
y
i
) = x(f[
2
1
I-1,
y
i-1
)+ f (x
i+1,
y
i+1
)].
Тогда
[]
)y,x(f)y,x(f
2
1
h2
yy
1i1i1i1i
1i1i
++−−
−+
+=
−
или
[]
.)y,x(f)y,x(f
2
1
h2
yy
1i1iii
i1i
++
+
+=
−
В этом случае n +1 уравнением будет
[]
.)y,x(f)y,x(f
2
h
yy
1i1iiii1i +++
++=
9. Решение системы дифференциальнных
уравнений первого порядка
Пусть дана система двух дифференцированных уравнений первого
порядка
=
=
).y,y,x(fy
),y,y,x(fy
212
'
2
211
'
1
(9.1)
Решением системы (9.1) называется пара функций ϕ
1
(x) и ϕ
2
(x), при под-
становке которых в систему получаются тождества
)).x(),x(,x(f)x());x(),x(,x(f)x(
212
'
2211
'
1
ϕϕ≡ϕϕϕ≡ϕ
Решению
ϕ=
ϕ=
)x(y
),x(y
22
11
системы уравнений (9.1) соответствует интегральная кривая в трехмерном
пространстве (x, y
1
, y
2
) (см. рис.3).
Условия, при которых через точку P
0
(x
0
, y
10
, y
20
) области D трехмерного
пространства проходит единственная интегральная кривая, содержатся в
теореме существования и единственности решения. 
                                                       15                                                                         16



3) находим второе приближение yi( 2) по формуле                                         Эта схема незамкнутая, потому что система состоит из n уравнений при
                                                                                        n+1 неизвестных. Замкнуть систему можно по-разному, но чтобы не поте-
                    h '                                                                 рять второй порядок точности аппроксимации, сделаем следующее
yi( 2) = yi − 2 +     ( yi − 2 + 4 yi' −1 + yi'(1) )        (i = 4, 5, 6, …).   (7.4)
                    3                                                                                1
                                                                                         f(xi,yi) = [f ( x I-1, yi-1)+ f (xi+1, yi+1)].
Милн показал, что абсолютная погрешность значения yi( 2) приближенно                                 2
равна                                                                                   Тогда
      1 ( 2)                                                                             yi +1 − yi −1 1
εi =    y − y i(1) .                                          (7.5)                                    = [f ( x i −1, yi −1 ) + f ( x i +1, yi +1 )]
     29 i                                                                                      2h         2
Поэтому, если ε i ≤ ε , где ε - заданная предельная погрешность решения,                или
                                                                                         y i +1 − y i 1
то можно положить y i ≈ y i( 2) и y i' = f ( x i , y i( 2) ).                                         = [f ( x i , y i ) + f ( x i +1 , y i +1 )].
                                                                                              2h        2
Далее переходим к вычислению следующего значения yi +1 , повторяя ука-                  В этом случае n +1 уравнением будет
занную выше схему. В случае, если точность ε не обеспечена, следует                                     h
                                                                                        y i +1 = y i + [f ( x i , y i ) + f ( x i +1 , y i +1 )].
уменьшить шаг h и сделать пересчет.                                                                     2
Замечания:
Суммарная ошибка метода Милна есть величина порядка h4.                                                           9. Решение системы дифференциальнных
Метод Милна не обладает устойчивостью, поэтому его рекомендуют ис-                                                       уравнений первого порядка
пользовать, когда предполагаемое число шагов не велико.                                           Пусть дана система двух дифференцированных уравнений первого
                                                                                        порядка
            8. Явная и неявная схемы аппроксимации задачи Коши
                                                                                         y 1' = f 1 ( x , y1 , y 2 ),
Рассматривается задача Коши                                                               '                                                           (9.1)
y' = f(x, y), y(x0) = y0.                                                (8.1)            y 2 = f 2 ( x , y1 , y 2 ).
Сделаем аппроксимацию (8.1) правой разностью
 y i +1 − y i                                                                           Решением системы (9.1) называется пара функций ϕ1(x) и ϕ2(x), при под-
               = f ( x i , y i ), i = 1, n;
       h                                                                                становке которых в систему получаются тождества
yi+1 = yi + h f (xi, yi) - явная схема, потому что формула дает возможность             ϕ1' ( x ) ≡ f 1 ( x , ϕ1 ( x ), ϕ 2 ( x )); ϕ '2 ( x ) ≡ f 2 ( x , ϕ1 ( x ), ϕ 2 ( x )).
вычислить значения yi+1 в точке xi+1 по известному значению yi.
Сделаем аппроксимацию (8.1) левой разностью                                                        y 1 = ϕ1 ( x ),
                                                                                        Решению 
 y i − y i −1                                                                                     y 2 = ϕ 2 (x )
               = f ( x i , y i ), i = 1, n;
       h                                                                                системы уравнений (9.1) соответствует интегральная кривая в трехмерном
 y i = y i −1 + hf ( x i , y i ) - неявная схема, потому что по этой формуле значе-     пространстве (x, y1, y2) (см. рис.3).
ние yi в точке xi вычисляется с использованием в f(xi, yi) вычисляемого                 Условия, при которых через точку P0(x0, y10, y20) области D трехмерного
значения yi .                                                                           пространства проходит единственная интегральная кривая, содержатся в
          Сделаем аппроксимацию (8.1) центральной разностью                             теореме существования и единственности решения.
 y i +1 − y i −1
                 = f ( x i , y i ), i = 1, n;
       2h

Страницы