Основы вычислительной математики. Выпуск 5. Ширапов Д.Ш - 6 стр.

                                                                11                                                                                       12




   y i(+k1) − y i(+k1−1) < ε, 0<ε<1.                                                                   2. Из равенств подобных членов при одинаковых степенях h в двух разло-
                                                                                                       жениях получают уравнения, решая которые находят cj и dj.
            Погрешность метода Эйлера можно оценивать неравенством                                              Отметим, что метод Эйлера можно называть методом Рунге-Кутта
      1                              1                                                                 первого порядка. Действительно, для р = 1, с1 = 0, d1 = 1 формулы (5.1)
δ ≤ max f ' ' ( x ) h 2 m = max f ' ' ( x ) (b − a )h .                                                преобразуются в соотношения:
      2 a ≤ x ≤b                     2 a≤x≤b
Это означает, что метод Эйлера имеет первый порядок точности. В част-                                  xi = xi-1 + h, yi = yi-1 + ∆ yi-1, (i = 1, m) ,
ности, при уменьшении h в 10 раз погрешность уменьшится примерно в                                     ∆ yi-1 = d1k1[i −1] = k1[i −1] , k1[i −1] = h ⋅ f(x i −1, yi −1 )
10 раз.
                                                                                                       или получим формулы Эйлера
            Практическую оценку погрешности решения, найденного на сетке с
                                                                                                       xi = xi-1 + h, yi = yi-1 + h f (xi-1 , yi-1 ).
шагом h/2, в точке xi ∈ [ a, b ] производят с помощью приближенного ра-
                                                                                                                Формулы метода Рунге-Кутта второго порядка совпадают с форму-
венства - правила Рунге:
                                                                                                       лами метода Эйлера-Коши.
                             | y (h ) − y i (h / 2) |                                                           Метод Рунге-Кутта четвертого порядка называют классическим ме-
| f ( x i ) − y i (h / 2) | ≈ i                       ,       (4.5)
                                     2 p −1                                                                                                                             1 1     1
                                                                                                       тодом Рунге-Кутта. При р = 4, с1=0, с2=с3= , с4=1, d1 = d4 = , d2 = d3 =
где р - порядок точности численного метода. Таким образом, оценка полу-                                                                                                 2 6     3
ченного результата по формуле (4.5) вынуждает проводить вычисления                                     из формул (5.1) получим алгоритм решения задачи Коши классическим
дважды: первый раз с шагом h, второй - с шагом h/2.                                                    методом Рунге-Кутта:
                                                                                                       xi = xi-1 + h, yi = yi-1 + ∆ yi-1 ,          (i = 1, m) ,
                                            5. Методы Рунге-Кутта
                                                                                                                  1 [i −1]            [i −1]       [ i −1] [i −1]
         Методы решения задачи Коши                                                                    ∆yi −1 = 6 [ k1 + 2 k 2 + 2 k 3 + k 4 ] ,
y ' = f (x, y) ,                                                                                       
y(x0)=y0                                                                                               k1[i −1] = h f ( x i −1, yi −1 ) ,
на равномерной сетке {x0 = a, x1, x2, . . . , xm = b} отрезка [a, b] с шагом                           
                                                                                                       k[i −1] = h f ( x + 1 h, y + 1 k[i −1] ) ,                   (5.2)
h=(b - a)/m являются методами Рунге-Кутта, если начиная с данных (х0, у0)                               2                 i −1              i −1        1
                                                                                                                                  2                2
решение ведется по следующим рекуррентным формулам:                                                                              1                1
 x i = x i −1 + h ,           y i = y i −1 + ∆y i −1       (i = 1, m) ,                               k[3i −1] = h f ( x i −1 + h, yi −1 + k[2i −1] ) ,

                p                                                                              (5.1)                             2                2
                                                                                                      k[i −1] = h f ( x + h , y + k[i −1] ) .
∆y i −1 =

             ∑j =1
                   d jk [ji −1] , k [ji −1] = h f ( x i −1 + c jh , y i −1 + c jk [ji−−11] )            4                 i −1          i −1     3


Метод называют методом Рунге-Кутта порядка р, если он имеет р-ый по-                                   Правило Рунге (4.5) практической оценки погрешности решения для чис-
рядок точности по шагу h на сетке. Порядок точности р достигается с по-                                ленного метода четвертого порядка имеет вид
мощью формул (5.1) при определенных значениях коэффициентов cj и dj                                                             1
( j = 1, p) . При чем с1 = 0 всегда. Эти коэффициенты вычисляют по сле-                                | f (xi) - yi (h/2) | ≈    | yi (h) – yi (h/2) | .
                                                                                                                               15
дующей схеме:
1. Точное решение f (x0 + h) и его приближение у1=у0 + ∆у0 представляют                                                                        6. Метод Адамса
в виде разложения по формуле Тейлора с центром в точке х0 вплоть до
слагаемого порядка hp+1;                                                                                     Недостатком методов Рунге-Кутта является необходимость вычис-
                                                                                                       лять р – раз правую часть уравнение f(x, y). От этого недостатка свобод-