Основы вычислительной математики. Выпуск 5. Ширапов Д.Ш - 6 стр.

UptoLike

Рубрика: 

11
)1k(
1i
)k(
1i
yy
++
< ε, 0<ε<1.
Погрешность метода Эйлера можно оценивать неравенством
δ h)ab()x(''fmax
2
1
mh)x(''fmax
2
1
bxa
2
bxa
=
.
Это означает, что метод Эйлера имеет первый порядок точности. В част-
ности, при уменьшении h в 10 раз погрешность уменьшится примерно в
10 раз.
Практическую оценку погрешности решения, найденного на сетке с
шагом h/2, в точке x
i
[ a, b ] производят с помощью приближенного ра-
венства - правила Рунге:
12
|)2/h(y)h(y|
|)2/h(y)x(f|
p
ii
ii
, (4.5)
где р - порядок точности численного метода. Таким образом, оценка полу-
ченного результата по формуле (4.5) вынуждает проводить вычисления
дважды: первый раз с шагом h, второй - с шагом h/2.
5. Методы Рунге-Кутта
Методы решения задачи Коши
y ' = f (x, y) ,
y(x
0
)=y
0
на равномерной сетке {x
0
= a, x
1
, x
2
, . . . , x
m
= b} отрезка [a, b] с шагом
h=(b - a)/m являются методами Рунге-Кутта, если начиная с данных (х
0
, у
0
)
решение ведется по следующим рекуррентным формулам:
++==
=+=+=
=
)kcy,hcx(fhk,kdy
,)m,1i(yyy,hxx
]1i[
1j
j1ij1i
]1i[
j
p
1j
]1i[
j
j1i
1i1ii1ii
(5.1)
Метод называют методом Рунге-Кутта порядка р, если он имеет р-ый по-
рядок точности по шагу h на сетке. Порядок точности р достигается с по-
мощью формул (5.1) при определенных значениях коэффициентов c
j
и d
j
)p,1j( = . При чем с
1
= 0 всегда. Эти коэффициенты вычисляют по сле-
дующей схеме:
1. Точное решение f (x
0
+ h) и его приближение у
1
=у
0
+ у
0
представляют
в виде разложения по формуле Тейлора с центром в точке х
0
вплоть до
слагаемого порядка h
p+1
;
12
2. Из равенств подобных членов при одинаковых степенях h в двух разло-
жениях получают уравнения, решая которые находят c
j
и d
j
.
Отметим, что метод Эйлера можно называть методом Рунге-Кутта
первого порядка. Действительно, для р = 1, с
1
= 0, d
1
= 1 формулы (5.1)
преобразуются в соотношения:
x
i
= x
i-1
+ h, y
i
= y
i-1
+ y
i-1,
)m,1i( =
,
y
i-1
= )y,f(xhk,kkd
1i1i
1][i
1
1][i
1
1][i
11
==
или получим формулы Эйлера
x
i
= x
i-1
+ h, y
i
= y
i-1
+ h f (x
i-1
, y
i-1
).
Формулы метода Рунге-Кутта второго порядка совпадают с форму-
лами метода Эйлера-Коши.
Метод Рунге-Кутта четвертого порядка называют классическим ме-
тодом Рунге-Кутта. При р = 4, с
1
=0, с
2
=с
3
=
2
1
, с
4
=1, d
1
= d
4
=
6
1
, d
2
= d
3
=
3
1
из формул (5.1) получим алгоритм решения задачи Коши классическим
методом Рунге-Кутта:
x
i
= x
i-1
+ h, y
i
= y
i-1
+ y
i-1
, )m,1i( = ,
++=
++=
++=
=
+++=
.)ky,hx(fhk
,)k
2
1
y,h
2
1
x(fhk
,)k
2
1
y,h
2
1
x(fhk
,)y,x(fhk
,]kk2k2k[
6
1
y
]1i[
31i1i
]1i[
4
]1i[
21i1i
]1i[
3
]1i[
11i1i
]1i[
2
1i1i
]1i[
1
]1i[
4
]1i[
3
]1i[
2
]1i[
11i
(5.2)
Правило Рунге (4.5) практической оценки погрешности решения для чис-
ленного метода четвертого порядка имеет вид
| f (x
i
) - y
i
(h/2) |
15
1
| y
i
(h) – y
i
(h/2) | .
6. Метод Адамса
Недостатком методов Рунге-Кутта является необходимость вычис-
лять рраз правую часть уравнение f(x, y). От этого недостатка свобод-