Основы вычислительной математики. Выпуск 5. Ширапов Д.Ш - 6 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВСГУТУ | Улан-Удэ

Составители: 

Рубрика: 

11
)1k(
1i
)k(
1i
yy
−
++
− < ε, 0<ε<1.
Погрешность метода Эйлера можно оценивать неравенством
δ ≤ h)ab()x(''fmax
2
1
mh)x(''fmax
2
1
bxa
2
bxa
−=
≤≤≤≤
.
Это означает, что метод Эйлера имеет первый порядок точности. В част-
ности, при уменьшении h в 10 раз погрешность уменьшится примерно в
10 раз.
Практическую оценку погрешности решения, найденного на сетке с
шагом h/2, в точке x
i
∈ [ a, b ] производят с помощью приближенного ра-
венства - правила Рунге:
12
|)2/h(y)h(y|
|)2/h(y)x(f|
p
ii
ii
−
−
≈−
, (4.5)
где р - порядок точности численного метода. Таким образом, оценка полу-
ченного результата по формуле (4.5) вынуждает проводить вычисления
дважды: первый раз с шагом h, второй - с шагом h/2.
5. Методы Рунге-Кутта
Методы решения задачи Коши
y ' = f (x, y) ,
y(x
0
)=y
0
на равномерной сетке {x
0
= a, x
1
, x
2
, . . . , x
m
= b} отрезка [a, b] с шагом
h=(b - a)/m являются методами Рунге-Кутта, если начиная с данных (х
0
, у
0
)
решение ведется по следующим рекуррентным формулам:
++==∆
=∆+=+=
−
−
−−
−
=
−
−
−−−
∑
)kcy,hcx(fhk,kdy
,)m,1i(yyy,hxx
]1i[
1j
j1ij1i
]1i[
j
p
1j
]1i[
j
j1i
1i1ii1ii
(5.1)
Метод называют методом Рунге-Кутта порядка р, если он имеет р-ый по-
рядок точности по шагу h на сетке. Порядок точности р достигается с по-
мощью формул (5.1) при определенных значениях коэффициентов c
j
и d
j
)p,1j( = . При чем с
1
= 0 всегда. Эти коэффициенты вычисляют по сле-
дующей схеме:
1. Точное решение f (x
0
+ h) и его приближение у
1
=у
0
+ ∆у
0
представляют
в виде разложения по формуле Тейлора с центром в точке х
0
вплоть до
слагаемого порядка h
p+1
;
12
2. Из равенств подобных членов при одинаковых степенях h в двух разло-
жениях получают уравнения, решая которые находят c
j
и d
j
.
Отметим, что метод Эйлера можно называть методом Рунге-Кутта
первого порядка. Действительно, для р = 1, с
1
= 0, d
1
= 1 формулы (5.1)
преобразуются в соотношения:
x
i
= x
i-1
+ h, y
i
= y
i-1
+ ∆ y
i-1,
)m,1i( =
,
∆ y
i-1
= )y,f(xhk,kkd
1i1i
1][i
1
1][i
1
1][i
11 −−
−−−
⋅==
или получим формулы Эйлера
x
i
= x
i-1
+ h, y
i
= y
i-1
+ h f (x
i-1
, y
i-1
).
Формулы метода Рунге-Кутта второго порядка совпадают с форму-
лами метода Эйлера-Коши.
Метод Рунге-Кутта четвертого порядка называют классическим ме-
тодом Рунге-Кутта. При р = 4, с
1
=0, с
2
=с
3
=
2
1
, с
4
=1, d
1
= d
4
=
6
1
, d
2
= d
3
=
3
1
из формул (5.1) получим алгоритм решения задачи Коши классическим
методом Рунге-Кутта:
x
i
= x
i-1
+ h, y
i
= y
i-1
+ ∆ y
i-1
, )m,1i( = ,
++=
++=
++=
=
+++=∆
−
−−
−
−
−−
−
−
−−
−
−−
−
−−−−
−
.)ky,hx(fhk
,)k
2
1
y,h
2
1
x(fhk
,)k
2
1
y,h
2
1
x(fhk
,)y,x(fhk
,]kk2k2k[
6
1
y
]1i[
31i1i
]1i[
4
]1i[
21i1i
]1i[
3
]1i[
11i1i
]1i[
2
1i1i
]1i[
1
]1i[
4
]1i[
3
]1i[
2
]1i[
11i
(5.2)
Правило Рунге (4.5) практической оценки погрешности решения для чис-
ленного метода четвертого порядка имеет вид
| f (x
i
) - y
i
(h/2) | ≈
15
1
| y
i
(h) – y
i
(h/2) | .
6. Метод Адамса
Недостатком методов Рунге-Кутта является необходимость вычис-
лять р – раз правую часть уравнение f(x, y). От этого недостатка свобод- 
                                                                11                                                                                       12




   y i(+k1) − y i(+k1−1) < ε, 0<ε<1.                                                                   2. Из равенств подобных членов при одинаковых степенях h в двух разло-
                                                                                                       жениях получают уравнения, решая которые находят cj и dj.
            Погрешность метода Эйлера можно оценивать неравенством                                              Отметим, что метод Эйлера можно называть методом Рунге-Кутта
      1                              1                                                                 первого порядка. Действительно, для р = 1, с1 = 0, d1 = 1 формулы (5.1)
δ ≤ max f ' ' ( x ) h 2 m = max f ' ' ( x ) (b − a )h .                                                преобразуются в соотношения:
      2 a ≤ x ≤b                     2 a≤x≤b
Это означает, что метод Эйлера имеет первый порядок точности. В част-                                  xi = xi-1 + h, yi = yi-1 + ∆ yi-1, (i = 1, m) ,
ности, при уменьшении h в 10 раз погрешность уменьшится примерно в                                     ∆ yi-1 = d1k1[i −1] = k1[i −1] , k1[i −1] = h ⋅ f(x i −1, yi −1 )
10 раз.
                                                                                                       или получим формулы Эйлера
            Практическую оценку погрешности решения, найденного на сетке с
                                                                                                       xi = xi-1 + h, yi = yi-1 + h f (xi-1 , yi-1 ).
шагом h/2, в точке xi ∈ [ a, b ] производят с помощью приближенного ра-
                                                                                                                Формулы метода Рунге-Кутта второго порядка совпадают с форму-
венства - правила Рунге:
                                                                                                       лами метода Эйлера-Коши.
                             | y (h ) − y i (h / 2) |                                                           Метод Рунге-Кутта четвертого порядка называют классическим ме-
| f ( x i ) − y i (h / 2) | ≈ i                       ,       (4.5)
                                     2 p −1                                                                                                                             1 1     1
                                                                                                       тодом Рунге-Кутта. При р = 4, с1=0, с2=с3= , с4=1, d1 = d4 = , d2 = d3 =
где р - порядок точности численного метода. Таким образом, оценка полу-                                                                                                 2 6     3
ченного результата по формуле (4.5) вынуждает проводить вычисления                                     из формул (5.1) получим алгоритм решения задачи Коши классическим
дважды: первый раз с шагом h, второй - с шагом h/2.                                                    методом Рунге-Кутта:
                                                                                                       xi = xi-1 + h, yi = yi-1 + ∆ yi-1 ,          (i = 1, m) ,
                                            5. Методы Рунге-Кутта
                                                                                                                  1 [i −1]            [i −1]       [ i −1] [i −1]
         Методы решения задачи Коши                                                                    ∆yi −1 = 6 [ k1 + 2 k 2 + 2 k 3 + k 4 ] ,
y ' = f (x, y) ,                                                                                       
y(x0)=y0                                                                                               k1[i −1] = h f ( x i −1, yi −1 ) ,
на равномерной сетке {x0 = a, x1, x2, . . . , xm = b} отрезка [a, b] с шагом                           
                                                                                                       k[i −1] = h f ( x + 1 h, y + 1 k[i −1] ) ,                   (5.2)
h=(b - a)/m являются методами Рунге-Кутта, если начиная с данных (х0, у0)                               2                 i −1              i −1        1
                                                                                                                                  2                2
решение ведется по следующим рекуррентным формулам:                                                                              1                1
 x i = x i −1 + h ,           y i = y i −1 + ∆y i −1       (i = 1, m) ,                               k[3i −1] = h f ( x i −1 + h, yi −1 + k[2i −1] ) ,

                p                                                                              (5.1)                             2                2
                                                                                                      k[i −1] = h f ( x + h , y + k[i −1] ) .
∆y i −1 =

             ∑j =1
                   d jk [ji −1] , k [ji −1] = h f ( x i −1 + c jh , y i −1 + c jk [ji−−11] )            4                 i −1          i −1     3


Метод называют методом Рунге-Кутта порядка р, если он имеет р-ый по-                                   Правило Рунге (4.5) практической оценки погрешности решения для чис-
рядок точности по шагу h на сетке. Порядок точности р достигается с по-                                ленного метода четвертого порядка имеет вид
мощью формул (5.1) при определенных значениях коэффициентов cj и dj                                                             1
( j = 1, p) . При чем с1 = 0 всегда. Эти коэффициенты вычисляют по сле-                                | f (xi) - yi (h/2) | ≈    | yi (h) – yi (h/2) | .
                                                                                                                               15
дующей схеме:
1. Точное решение f (x0 + h) и его приближение у1=у0 + ∆у0 представляют                                                                        6. Метод Адамса
в виде разложения по формуле Тейлора с центром в точке х0 вплоть до
слагаемого порядка hp+1;                                                                                     Недостатком методов Рунге-Кутта является необходимость вычис-
                                                                                                       лять р – раз правую часть уравнение f(x, y). От этого недостатка свобод-

Страницы