Основы вычислительной математики. Выпуск 5. Ширапов Д.Ш - 5 стр.

UptoLike

Рубрика: 

9
4. Метод Эйлера
Дано дифференциальное уравнение
y
= f (x, y) (4.1)
с начальным условием
у (х
0
) = у
0
.
Выбрав достаточно малый шаг h построим систему равноотстоя-
щих точек на отрезке [ a,b]
x
i
=x
0
+ i h ( i = 0, 1, 2, . . . ) (4.2)
у
Рис.2
Искомую интегральную кривую y=y(x), проходящую через точку
M
0
(x
0,
y
0
), приближенно заменим ломаной M
0
.
M
1
.
M
2
.
…, с вершинами
M
i
(x
i
, y
i
), (i = 0, 1, 2, …), звенья которой M
i
M
i+1
прямолинейны между
прямыми x=x
i
, x=x
i+1
. Тогда уравнение (4.1) можно заменить следующим
уравнением:
+
h
yy
i1i
f (x
i
, y
i
) (4.3)
10
для точки M
i
(x
i
, y
i
). Прямые
h
yy
i1i
+
аппроксимирующие решение зада-
чи (4.1) называются ломанными Эйлера (i = 0, 1, 2, …).
Из (4.3) можно записать
y
i+1
= y
i
+ h f( x
i
, y
i
) или при y
i
= h f( x
i
, y
i
)
y
i+1
= y
i
+ y
i
, (i = 0, 1, 2, …). (4.4)
Формула (4.4) позволяет при заданном начальном условии y(x
0
)=y
0
чис-
ленно решить уравнение (4.1). Недостатки метода:
1.
Малая точность;
2.
Накопление ошибок.
4.1. Модификации метода Эйлера
А
. Согласно методу Эйлера ищем решение уравнения (4.1) формулой
(4.4). Более точным является усовершенствованный метод ломаных, при
котором сначала вычисляются промежуточные значения
2
1
i
x
+
= x
i
+
2
h
,
2
1
i
y
+
= y
i
+
2
h
f( x
i,
y
i
)
и находят значение интегральных кривых в средней точке (
2
1
i
x
+
,
2
1
i
y
+
), т.е.
2
1
i
f
+
= f(
2
1
i
x
+
,
2
1
i
y
+
), а затем полагают y
i+1
= y
i
+ h
2
1
i
f
+
.
Б. Другой модификацией метода Эйлера является усовершенствованный
метод Эйлера-Коши, при котором сначала определяется
1i
y
~
+
= y
i
+ h f
i
, x
i
=x
0
+ i h, (i = 0, 1, 2, …)
исходя из которого находится направление поля интегральных кривых
1i
f
~
+
= f(x
i+1
,
1i
y
~
+
)
затем приближенно вычисляют
y
i+1 =
y
i
+ h
2
ff
1ii +
+
.
В. Метод Эйлера-Коши можно еще более уточнить, применяя итерацион-
ную обработку следующим образом:
y
i+1
(k)
= y
i
+
[
]
)y,x(f)y,x(f
2
h
1i
)1k(
1iii
+
+
+ , (k = 1, 2, …; i = 0, 1, 2, …),
x
i
=x
0
+ i h.
Итерация заканчивается при выполнении условия
x
0
x
1
x
2
x
3
x
4
x
5
x
h
h h
М
0
М
1
М
2
М
3
М
4
М
5