ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
9
4. Метод Эйлера
Дано дифференциальное уравнение
y
′ = f (x, y) (4.1)
с начальным условием
у (х
0
) = у
0
.
Выбрав достаточно малый шаг h построим систему равноотстоя-
щих точек на отрезке [ a,b]
x
i
=x
0
+ i h ( i = 0, 1, 2, . . . ) (4.2)
у
Рис.2
Искомую интегральную кривую y=y(x), проходящую через точку
M
0
(x
0,
y
0
), приближенно заменим ломаной M
0
.
M
1
.
M
2
.
…, с вершинами
M
i
(x
i
, y
i
), (i = 0, 1, 2, …), звенья которой M
i
M
i+1
прямолинейны между
прямыми x=x
i
, x=x
i+1
. Тогда уравнение (4.1) можно заменить следующим
уравнением:
≈
−
+
h
yy
i1i
f (x
i
, y
i
) (4.3)
10
для точки M
i
(x
i
, y
i
). Прямые
h
yy
i1i
−
+
аппроксимирующие решение зада-
чи (4.1) называются ломанными Эйлера (i = 0, 1, 2, …).
Из (4.3) можно записать
y
i+1
= y
i
+ h f( x
i
, y
i
) или при ∆y
i
= h f( x
i
, y
i
)
y
i+1
= y
i
+ ∆y
i
, (i = 0, 1, 2, …). (4.4)
Формула (4.4) позволяет при заданном начальном условии y(x
0
)=y
0
чис-
ленно решить уравнение (4.1). Недостатки метода:
1.
Малая точность;
2.
Накопление ошибок.
4.1. Модификации метода Эйлера
А
. Согласно методу Эйлера ищем решение уравнения (4.1) формулой
(4.4). Более точным является усовершенствованный метод ломаных, при
котором сначала вычисляются промежуточные значения
2
1
i
x
+
= x
i
+
2
h
,
2
1
i
y
+
= y
i
+
2
h
f( x
i,
y
i
)
и находят значение интегральных кривых в средней точке (
2
1
i
x
+
,
2
1
i
y
+
), т.е.
2
1
i
f
+
= f(
2
1
i
x
+
,
2
1
i
y
+
), а затем полагают y
i+1
= y
i
+ h
2
1
i
f
+
.
Б. Другой модификацией метода Эйлера является усовершенствованный
метод Эйлера-Коши, при котором сначала определяется
1i
y
~
+
= y
i
+ h f
i
, x
i
=x
0
+ i h, (i = 0, 1, 2, …)
исходя из которого находится направление поля интегральных кривых
1i
f
~
+
= f(x
i+1
,
1i
y
~
+
)
затем приближенно вычисляют
y
i+1 =
y
i
+ h
2
ff
1ii +
+
.
В. Метод Эйлера-Коши можно еще более уточнить, применяя итерацион-
ную обработку следующим образом:
y
i+1
(k)
= y
i
+
[
]
)y,x(f)y,x(f
2
h
1i
)1k(
1iii
+
−
+
+ , (k = 1, 2, …; i = 0, 1, 2, …),
x
i
=x
0
+ i h.
Итерация заканчивается при выполнении условия
x
0
x
1
x
2
x
3
x
4
x
5
x
h
h h
М
0
М
1
М
2
М
3
М
4
М
5
9 10
4. Метод Эйлера yi +1 − yi
для точки Mi(xi , yi ). Прямые аппроксимирующие решение зада-
Дано дифференциальное уравнение h
y′ = f (x, y) (4.1) чи (4.1) называются ломанными Эйлера (i = 0, 1, 2, …).
с начальным условием Из (4.3) можно записать
у (х0 ) = у0 . yi+1 = yi + h f( xi, yi) или при ∆yi = h f( xi, yi)
Выбрав достаточно малый шаг h построим систему равноотстоя- yi+1 = yi + ∆yi, (i = 0, 1, 2, …). (4.4)
щих точек на отрезке [ a,b] Формула (4.4) позволяет при заданном начальном условии y(x0)=y0 чис-
xi=x0 + i h ( i = 0, 1, 2, . . . ) (4.2) ленно решить уравнение (4.1). Недостатки метода:
1. Малая точность;
у 2. Накопление ошибок.
4.1. Модификации метода Эйлера
М3 А. Согласно методу Эйлера ищем решение уравнения (4.1) формулой
М2
М4 М5 (4.4). Более точным является усовершенствованный метод ломаных, при
М1
котором сначала вычисляются промежуточные значения
М0 h h
x 1 = xi + , y 1 = yi + f( xi, yi)
i+
2
2 i+
2
2
и находят значение интегральных кривых в средней точке ( x 1 ,y 1 ), т.е.
i+ i+
2 2
f 1 = f( x 1 ,y 1 ), а затем полагают yi+1 = yi + h f 1 .
h h h i+ i+ i+ i+
2 2 2 2
Б. Другой модификацией метода Эйлера является усовершенствованный
x0 x1 x2 x3 x4 x5 x метод Эйлера-Коши, при котором сначала определяется
~y = y + h f , x =x + i h, (i = 0, 1, 2, …)
i +1 i i i 0
Рис.2 исходя из которого находится направление поля интегральных кривых
~
fi +1 = f(xi+1, ~yi +1 )
затем приближенно вычисляют
Искомую интегральную кривую y=y(x), проходящую через точку f +f
yi+1 = yi + h i i +1 .
M0(x0, y0), приближенно заменим ломаной M0. M1. M2. …, с вершинами 2
Mi(xi , yi ), (i = 0, 1, 2, …), звенья которой Mi Mi+1 прямолинейны между В. Метод Эйлера-Коши можно еще более уточнить, применяя итерацион-
прямыми x=xi, x=xi+1. Тогда уравнение (4.1) можно заменить следующим ную обработку следующим образом:
уравнением:
y i +1 − y i yi+1(k)= yi +
h
2
[ ]
f ( x i , yi ) + f ( x i +1, y( k −1)i +1 ) , (k = 1, 2, …; i = 0, 1, 2, …),
≈ f (xi , yi ) (4.3)
h xi=x0 + i h.
Итерация заканчивается при выполнении условия
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 3
- 4
- 5
- 6
- 7
- …
- следующая ›
- последняя »
