Основы вычислительной математики. Выпуск 5. Ширапов Д.Ш - 7 стр.

UptoLike

Рубрика: 

13
ны многошаговые методы, которые для вычисления значения решения
y
i+1
используют значения решения не в одной точке y
i
, как это делается
в одношаговых методах, а в нескольких предыдущих точках y
i
, y
i-1
,
y
i-
2
,…, y
i-k+1
. Здесь рассмотрим два многошаговых методовметоды Адамса
и Милна.
Имеем дифференциальное уравнение
y ' =f(x, y) (6.1)
с начальным условием
у(х
0
)=у
0
. (6.2)
Пусть х
i
( i =0, 1, 2, . . . ) система равноотстоящих значений с шагом h и
у
i
=у(х
i
).
Очевидно, что
dx.yy
1i
i
x
x
'
i
+
= (6.3)
В силу второй интерполяционной формулы Ньютона с
точностью до разностей четвертого порядка получаем
'
3i
3'
2i
2'
1i
'
i
y
!3
)2q)(1q(q
y
!2
)1q(q
yqy'y
++
+
+
+= ,
где q=(x-x
i
)/h.
Подставляя полученное
'
y в (6.3) и учитывая, что dx = hdq получим
)dq.yД
6
2q3qq
y
2
qq
yq(yhy
'
3i
3
23
1
0
'
2-i
2
2
'
1-i
'
ii
++
+
+
++=
Отсюда получаем экстраполяционную формулу Адамса
).(hyД
8
3
)(hyД
12
5
)Д(hy
2
1
hyДy
'
3i
3'
2i
2'
1i
'
ii
+++=
(6.4)
Для того, чтобы использовать формулу (6.4) нужны 4 начальных
значения: у
0
, у
1
, у
2
, у
3
, так называемый «начальный отрезок», который
определяют исходя из начального условия (6.2), каким-нибудь численным
методом. Зная у
0
, у
1
, у
2
, у
3
из (6.1) можно найти производные
'
3
'
2
'
1
'
0
у,у,у,у и составить таблицу разностей:
)(hyД),(hyД),(hyД),Д(hy),Д(hy),Д(hy
'
0
3'
1
2'
0
2'
2
'
1
'
0
. (6.5)
14
Дальнейшие значения у
i
(i=4,5, . . .) искомого решения можно
вычислить по формуле (6.4), пополняя по мере необходимости таблицу
разностей (6.5).
Для контроля рекомендуется, вычислив первое приближение для
(1)
i
i
Дyу по формуле (6.4) определить у
i+1
=y
i
+
)1(
i
y , подсчитать ко-
нечные разности
)(hyД),(hyД),Д(hy
'
2-i
3'
1-i
2'
i
(6.6)
и затем найти второе приближение по более точной формуле
).(hyД
24
1
)(hyД
12
1
)Д(hy
2
1
hyДy
'
2i
3'
1i
2'
i
'
i
2
i
+= (6.7)
Если
)1(
i
y и
)2(
i
y отличаются с требуемой точностью, то можно поло-
жить
(2)
i
i
Дyу = , а затем найдя у
i+1
=y
i
+y
i
, перевычислить конечные
разности (6.6). После этого, следует снова найти y
i
по (6.7).
Если расхождение величин
)1(
i
y и
)2(
i
y значительно, то необхо-
димо уменьшить шаг h. Обычно шаг уменьшают в два раза.
7. Метод Милна
Одним из наиболее простых и практически удобных методов чис-
ленного решения дифференциальных уравнений является метод Милна.
Пусть дано уравнение
y
'
= f(x, y) (7.1)
с начальным условием
y(x
0
)=y
0
(7.2)
Выбрав, шаг h положим
x
i
=x
0
+ ih, y
i
= y(x
i
), )y,x(fy
ii
'
i
= (i = 0, 1, 2, …).
Первые 4 значения начального отрезка y
0
, y
1
, y
2
, y
3
находим, применив
метод Рунге-Кутта. Тем самым будут известны
'
i
y (i = 0, 1, 2, 3).
Дальнейшие значения y
i
= y(x
i
) (i = 4, 5, 6, …) определяются по
следующей схеме:
1) вычисляем первое приближение
)1(
i
y по формуле
)2yy(2y
3
4h
yy
'
1i
'
2i
'
3i4i
(1)
i
++= (i = 4, 5, 6, …) (7.3)
2) значение
)1(
i
y подставляем в (7.1.) и определяем );y,x(fy
)1(
i
1
)1('
i
=