ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
13
ны многошаговые методы, которые для вычисления значения решения
y
i+1
используют значения решения не в одной точке y
i
, как это делается
в одношаговых методах, а в нескольких предыдущих точках y
i
, y
i-1
,
y
i-
2
,…, y
i-k+1
. Здесь рассмотрим два многошаговых методов – методы Адамса
и Милна.
Имеем дифференциальное уравнение
y ' =f(x, y) (6.1)
с начальным условием
у(х
0
)=у
0
. (6.2)
Пусть х
i
( i =0, 1, 2, . . . ) система равноотстоящих значений с шагом h и
у
i
=у(х
i
).
Очевидно, что
dx.yy
1i
i
x
x
'
i
∫
+
=∆ (6.3)
В силу второй интерполяционной формулы Ньютона с
точностью до разностей четвертого порядка получаем
'
3i
3'
2i
2'
1i
'
i
y
!3
)2q)(1q(q
y
!2
)1q(q
yqy'y
−−−
∆
++
+∆
+
+∆−= ,
где q=(x-x
i
)/h.
Подставляя полученное
'
y в (6.3) и учитывая, что dx = hdq получим
)dq.yД
6
2q3qq
y
2
qq
yq(yhy
'
3i
3
23
1
0
'
2-i
2
2
'
1-i
'
ii −
++
+∆
+
+∆+=∆
∫
Отсюда получаем экстраполяционную формулу Адамса
).(hyД
8
3
)(hyД
12
5
)Д(hy
2
1
hyДy
'
3i
3'
2i
2'
1i
'
ii −−−
+++=
(6.4)
Для того, чтобы использовать формулу (6.4) нужны 4 начальных
значения: у
0
, у
1
, у
2
, у
3
, так называемый «начальный отрезок», который
определяют исходя из начального условия (6.2), каким-нибудь численным
методом. Зная у
0
, у
1
, у
2
, у
3
из (6.1) можно найти производные
'
3
'
2
'
1
'
0
у,у,у,у и составить таблицу разностей:
)(hyД),(hyД),(hyД),Д(hy),Д(hy),Д(hy
'
0
3'
1
2'
0
2'
2
'
1
'
0
. (6.5)
14
Дальнейшие значения у
i
(i=4,5, . . .) искомого решения можно
вычислить по формуле (6.4), пополняя по мере необходимости таблицу
разностей (6.5).
Для контроля рекомендуется, вычислив первое приближение для
(1)
i
i
Дyу ≈∆ по формуле (6.4) определить у
i+1
=y
i
+
)1(
i
y∆ , подсчитать ко-
нечные разности
)(hyД),(hyД),Д(hy
'
2-i
3'
1-i
2'
i
(6.6)
и затем найти второе приближение по более точной формуле
).(hyД
24
1
)(hyД
12
1
)Д(hy
2
1
hyДy
'
2i
3'
1i
2'
i
'
i
2
i −−
−−+= (6.7)
Если
)1(
i
y∆ и
)2(
i
y∆ отличаются с требуемой точностью, то можно поло-
жить
(2)
i
i
Дyу =∆ , а затем найдя у
i+1
=y
i
+∆y
i
, перевычислить конечные
разности (6.6). После этого, следует снова найти ∆y
i
по (6.7).
Если расхождение величин
)1(
i
y∆ и
)2(
i
y∆ значительно, то необхо-
димо уменьшить шаг h. Обычно шаг уменьшают в два раза.
7. Метод Милна
Одним из наиболее простых и практически удобных методов чис-
ленного решения дифференциальных уравнений является метод Милна.
Пусть дано уравнение
y
'
= f(x, y) (7.1)
с начальным условием
y(x
0
)=y
0
(7.2)
Выбрав, шаг h положим
x
i
=x
0
+ ih, y
i
= y(x
i
), )y,x(fy
ii
'
i
= (i = 0, 1, 2, …).
Первые 4 значения начального отрезка y
0
, y
1
, y
2
, y
3
находим, применив
метод Рунге-Кутта. Тем самым будут известны
'
i
y (i = 0, 1, 2, 3).
Дальнейшие значения y
i
= y(x
i
) (i = 4, 5, 6, …) определяются по
следующей схеме:
1) вычисляем первое приближение
)1(
i
y по формуле
)2yy(2y
3
4h
yy
'
1i
'
2i
'
3i4i
(1)
i
−−−−
+−+= (i = 4, 5, 6, …) (7.3)
2) значение
)1(
i
y подставляем в (7.1.) и определяем );y,x(fy
)1(
i
1
)1('
i
=
13 14
ны многошаговые методы, которые для вычисления значения решения Дальнейшие значения уi (i=4,5, . . .) искомого решения можно
yi+1 используют значения решения не в одной точке yi , как это делается вычислить по формуле (6.4), пополняя по мере необходимости таблицу
в одношаговых методах, а в нескольких предыдущих точках yi, yi-1, yi- разностей (6.5).
2,…, yi-k+1 . Здесь рассмотрим два многошаговых методов – методы Адамса Для контроля рекомендуется, вычислив первое приближение для
и Милна. ∆у i ≈ Дy i(1) по формуле (6.4) определить уi+1=yi+ ∆y i(1) , подсчитать ко-
Имеем дифференциальное уравнение
y ' =f(x, y) (6.1) нечные разности
с начальным условием Д(hy i' ), Д 2 (hy i' -1 ), Д 3 (hy i' -2 ) (6.6)
у(х0)=у0 . (6.2) и затем найти второе приближение по более точной формуле
Пусть хi ( i =0, 1, 2, . . . ) система равноотстоящих значений с шагом h и 1 1 1 3
уi =у(хi ). Дy i2 = hy i' + Д(hy i' ) − Д 2 (hy i' −1 ) − Д (hy i' − 2 ). (6.7)
2 12 24
Очевидно, что
x i +1 Если ∆y i(1) и ∆yi( 2) отличаются с требуемой точностью, то можно поло-
∫ y dx.
'
∆yi = (6.3) жить ∆у i = Дy i(2) , а затем найдя уi+1=yi+∆yi , перевычислить конечные
xi
разности (6.6). После этого, следует снова найти ∆yi по (6.7).
В силу второй интерполяционной формулы Ньютона с Если расхождение величин ∆y i(1) и ∆yi( 2) значительно, то необхо-
точностью до разностей четвертого порядка получаем димо уменьшить шаг h. Обычно шаг уменьшают в два раза.
q (q + 1) 2 ' q(q + 1)(q + 2) 3 '
y' = yi' − q∆yi' −1 + ∆ yi − 2 + ∆ yi − 3 , 7. Метод Милна
2! 3!
Одним из наиболее простых и практически удобных методов чис-
ленного решения дифференциальных уравнений является метод Милна.
где q=(x-xi)/h. Пусть дано уравнение
Подставляя полученное y ' в (6.3) и учитывая, что dx = hdq получим y' = f(x, y) (7.1)
1 с начальным условием
q2 + q 2 ' q 3 + 3q 2 + 2q 3 '
∫
∆y i = h (y i' + q∆y i' -1 +
0
2
∆ y i-2 +
6
Д y i −3 )dq. y(x0)=y0
Выбрав, шаг h положим
(7.2)
Отсюда получаем экстраполяционную формулу Адамса xi=x0 + ih, yi = y(xi), y i' = f ( x i , y i ) (i = 0, 1, 2, …).
1 5 3 Первые 4 значения начального отрезка y0, y1, y2, y3 находим, применив
Дy i = hy i' + Д(hy i' −1 ) + Д 2 (hy i' − 2 ) + Д 3 (hy i' −3 ). (6.4)
2 12 8 метод Рунге-Кутта. Тем самым будут известны y i' (i = 0, 1, 2, 3).
Для того, чтобы использовать формулу (6.4) нужны 4 начальных Дальнейшие значения yi = y(xi) (i = 4, 5, 6, …) определяются по
значения: у0 , у1 , у2 , у3 , так называемый «начальный отрезок», который следующей схеме:
определяют исходя из начального условия (6.2), каким-нибудь численным
1) вычисляем первое приближение yi(1) по формуле
методом. Зная у0 , у1 , у2 , у3 из (6.1) можно найти производные
' ' ' ' 4h
у 0 , у1 , у 2 , у 3 и составить таблицу разностей: yi(1) = yi − 4 +(2yi' −3 − yi' − 2 + 2yi' −1 ) (i = 4, 5, 6, …) (7.3)
3
Д(hy '0 ), Д(hy1' ), Д(hy '2 ), Д 2 (hy '0 ), Д 2 (hy1' ), Д 3 (hy '0 ) . (6.5)
2) значение yi(1) подставляем в (7.1.) и определяем y i'(1) = f ( x1 , y i(1) );
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 5
- 6
- 7
- 8
- 9
- …
- следующая ›
- последняя »
