Основы вычислительной математики. Выпуск 5. Ширапов Д.Ш - 7 стр.

                                                   13                                                                                14



ны многошаговые методы, которые для вычисления значения решения                                Дальнейшие значения уi     (i=4,5, . . .) искомого решения можно
yi+1 используют значения решения не в одной точке yi , как это делается                  вычислить по формуле (6.4), пополняя по мере необходимости таблицу
в одношаговых методах, а в нескольких предыдущих точках yi, yi-1, yi-                    разностей (6.5).
2,…, yi-k+1 . Здесь рассмотрим два многошаговых методов – методы Адамса                        Для контроля рекомендуется, вычислив первое приближение для
и Милна.                                                                                 ∆у i ≈ Дy i(1) по формуле (6.4) определить уi+1=yi+ ∆y i(1) , подсчитать ко-
Имеем дифференциальное уравнение
y ' =f(x, y)                                                      (6.1)                  нечные разности
с начальным условием                                                                     Д(hy i' ), Д 2 (hy i' -1 ), Д 3 (hy i' -2 )                      (6.6)
у(х0)=у0 .                                                        (6.2)                  и затем найти второе приближение по более точной формуле
Пусть хi ( i =0, 1, 2, . . . ) система равноотстоящих значений с шагом h и                                1                 1          1 3
уi =у(хi ).                                                                              Дy i2 = hy i' + Д(hy i' ) − Д 2 (hy i' −1 ) −    Д (hy i' − 2 ). (6.7)
                                                                                                          2                12          24
Очевидно, что
        x i +1                                                                           Если ∆y i(1) и ∆yi( 2) отличаются с требуемой точностью, то можно поло-
         ∫ y dx.
                 '
∆yi =                                                                          (6.3)     жить     ∆у i = Дy i(2) , а затем найдя уi+1=yi+∆yi , перевычислить конечные
         xi
                                                                                         разности (6.6). После этого, следует снова найти ∆yi по (6.7).
В силу второй интерполяционной формулы Ньютона с                                                 Если расхождение величин ∆y i(1) и ∆yi( 2)           значительно, то необхо-
точностью до разностей четвертого порядка получаем                                       димо уменьшить шаг h. Обычно шаг уменьшают в два раза.
                       q (q + 1) 2 '       q(q + 1)(q + 2) 3 '
 y' = yi' − q∆yi' −1 +          ∆ yi − 2 +                ∆ yi − 3 ,                                                         7. Метод Милна
                           2!                     3!
                                                                                                 Одним из наиболее простых и практически удобных методов чис-
                                                                                         ленного решения дифференциальных уравнений является метод Милна.
где q=(x-xi)/h.                                                                                  Пусть дано уравнение
      Подставляя полученное y ' в (6.3) и учитывая, что dx = hdq получим                 y' = f(x, y)                                                       (7.1)
            1                                                                            с начальным условием
                                q2 + q 2 '      q 3 + 3q 2 + 2q 3 '
           ∫
∆y i = h (y i' + q∆y i' -1 +
            0
                                  2
                                      ∆ y i-2 +
                                                       6
                                                               Д y i −3 )dq.             y(x0)=y0
                                                                                         Выбрав, шаг h положим
                                                                                                                                                            (7.2)

Отсюда получаем экстраполяционную формулу Адамса                                         xi=x0 + ih, yi = y(xi), y i' = f ( x i , y i ) (i = 0, 1, 2, …).
                   1             5              3                                        Первые 4 значения начального отрезка y0, y1, y2, y3 находим, применив
Дy i = hy i' + Д(hy i' −1 ) + Д 2 (hy i' − 2 ) + Д 3 (hy i' −3 ).   (6.4)
                    2           12              8                                        метод Рунге-Кутта. Тем самым будут известны y i' (i = 0, 1, 2, 3).
          Для того, чтобы использовать формулу (6.4) нужны 4 начальных                           Дальнейшие значения yi = y(xi) (i = 4, 5, 6, …) определяются по
значения: у0 , у1 , у2 , у3 , так называемый «начальный отрезок», который                следующей схеме:
определяют исходя из начального условия (6.2), каким-нибудь численным
                                                                                         1) вычисляем первое приближение yi(1) по формуле
методом. Зная             у0 , у1 , у2 , у3 из (6.1) можно найти производные
   '    '     '     '                                                                                        4h
 у 0 , у1 , у 2 , у 3 и составить таблицу разностей:                                            yi(1) = yi − 4 +(2yi' −3 − yi' − 2 + 2yi' −1 ) (i = 4, 5, 6, …)          (7.3)
                                                                                                              3
Д(hy '0 ), Д(hy1' ), Д(hy '2 ), Д 2 (hy '0 ), Д 2 (hy1' ), Д 3 (hy '0 ) .        (6.5)
                                                                                         2) значение yi(1) подставляем в (7.1.) и определяем y i'(1) = f ( x1 , y i(1) );