ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
5
Рис.1.
В. В приложениях часто встречаются системы ОДУ:
=
=
=
),y...,,y,y,x(f
dx
dy
...
),y...,,y,y,x(f
dx
dy
),y...,,y,y,x(f
dx
dy
n21n
n
n212
2
n211
1
(1.3)
где х – независимая переменная; у
1
, у
2
, …, у
n
– искомые функции. Задача
Коши (1.3) заключается в отыскании у
1
, у
2
, …, у
n
, удовлетворяющих сис-
теме (1.3) и начальным условиям
у
1
(х
0
)=у
10
, у
2
(х
0
)=у
20
, …, у
n
(х
0
)=у
n0
.
Примечание. Даже для простейшего ОДУ первого порядка (1.1)
нахождение решения бывает невыполнимо с помощью конечного числа
математических операций. Тем более это затруднено для системы ОДУ.
Указанное обстоятельство привело к созданию большого числа ме-
тодов приближенного решения. Эти методы в зависимости от формы
можно разделить на три основные группы:
1. Аналитические методы, дающие приближенное решение ОДУ в виде
аналитического выражения.
2. Графические методы, дающие приближенное решение в виде графика.
3. Численные методы, дающие приближенное решение в виде таблицы.
6
2. Метод разложения в ряды
Исторически первым методом решения ОДУ, которое использовал
его автор Ньютон, был метод разложения в ряды. Искомое решение разла-
гается в ряд с неизвестными коэффициентами. Решение сводится к нахож-
дению этих коэффициентов.
А. Сначала рассмотрим дифференциальное уравнение 1-го порядка
y′ = f (x, y) (2.1)
с начальным условием
у (х
0
)=у
0
. (2.2)
Пусть правая часть (2.1) является аналитической функцией в начальной
точке (х
0
, у
0
), то есть в некоторой окрестности этой точки может быть раз-
ложена в степенной ряд вида
f (x, y)=
∑
∞
=
−−
0q,p
q
0
p
0pq
)yy()xx(c ,
где p, q – целые неотрицательные числа; с
pq
- постоянные коэффициенты.
Тогда существует единственное решение у=у(х) уравнения (2.1),
удовлетворяющее условию (2.2), причем это решение является аналити-
ческим в точке х
0
и может представлено в виде ряда Тейлора
у ≡ у(х)=
∑
∞
=
−
0p
p
0p
)xx(c , (2.3)
где
...;,2,1,0p,)x(y
!p
1
c
0
)p(
p
==
Коэффициент с
0
определяется из условия (2.2):
с
0
= у(х
0
)=у
0
.
Коэффициент с
1
находится из (2.1):
с
1
=у′(х
0
)=f(х
0
, у
0
).
Далее найдем
у′′ =
'
x
'
y
'
x
y)y,x(f)y,x(f + ,
отсюда
[
]
'
000
'
y00
'
x02
y)y,x(f)y,x(f
2
1
)x(''y
2
1
c +== ,
где
)y,x(fy
00
'
0
= .
х
0
у
0
у
у
0
М
0
у=у(х)
х
у
5 6
у 2. Метод разложения в ряды
Исторически первым методом решения ОДУ, которое использовал
у=у(х) его автор Ньютон, был метод разложения в ряды. Искомое решение разла-
гается в ряд с неизвестными коэффициентами. Решение сводится к нахож-
дению этих коэффициентов.
М0 А. Сначала рассмотрим дифференциальное уравнение 1-го порядка
y′ = f (x, y) (2.1)
у
с начальным условием
у0 у (х0)=у0 . (2.2)
Пусть правая часть (2.1) является аналитической функцией в начальной
х точке (х0, у0), то есть в некоторой окрестности этой точки может быть раз-
х0 у0 ложена в степенной ряд вида
∞
Рис.1. f (x, y)= ∑c
p,q =0
pq ( x − x 0 )
p
(y − y 0 ) q ,
В. В приложениях часто встречаются системы ОДУ: где p, q – целые неотрицательные числа; сpq - постоянные коэффициенты.
dy 1 Тогда существует единственное решение у=у(х) уравнения (2.1),
dx = f 1 ( x , y1 , y 2 , ..., y n ), удовлетворяющее условию (2.2), причем это решение является аналити-
ческим в точке х0 и может представлено в виде ряда Тейлора
dy 2
= f 2 ( x , y1 , y 2 , ..., y n ), ∞
dx
. . .
(1.3) у ≡ у(х)= ∑c
p =0
p (x − x 0 )
p
, (2.3)
dy n 1 (p)
dx = f n ( x , y 1 , y 2 , ..., y n ), где c p =
p!
y (x 0 ) , p = 0, 1, 2, ...;
где х – независимая переменная; у1, у2, …, уn – искомые функции. Задача Коэффициент с0 определяется из условия (2.2):
Коши (1.3) заключается в отыскании у1, у2, …, уn , удовлетворяющих сис- с0 = у(х0)=у0 .
теме (1.3) и начальным условиям Коэффициент с1 находится из (2.1):
у1(х0)=у10 , у2 (х0)=у20 , …, уn (х0)=уn0 . с1=у′(х0)=f(х0, у0).
Примечание. Даже для простейшего ОДУ первого порядка (1.1) Далее найдем
нахождение решения бывает невыполнимо с помощью конечного числа
у′′ = f x' ( x, y) + f y' ( x, y) y'x ,
математических операций. Тем более это затруднено для системы ОДУ.
Указанное обстоятельство привело к созданию большого числа ме- отсюда
тодов приближенного решения. Эти методы в зависимости от формы
можно разделить на три основные группы:
1 1
[
c 2 = y' ' ( x 0 ) = f x' ( x 0 , y 0 ) + f y' ( x 0 , y 0 ) y '0
2 2
] ,
1. Аналитические методы, дающие приближенное решение ОДУ в виде '
где y 0 = f ( x 0 , y 0 ) .
аналитического выражения.
2. Графические методы, дающие приближенное решение в виде графика.
3. Численные методы, дающие приближенное решение в виде таблицы.
