Основы вычислительной математики. Выпуск 5. Ширапов Д.Ш - 3 стр.

                                    5                                                                                                6



       у                                                                                           2. Метод разложения в ряды
                                                                                 Исторически первым методом решения ОДУ, которое использовал
                                               у=у(х)                     его автор Ньютон, был метод разложения в ряды. Искомое решение разла-
                                                                          гается в ряд с неизвестными коэффициентами. Решение сводится к нахож-
                                                                          дению этих коэффициентов.
            М0                                                            А. Сначала рассмотрим дифференциальное уравнение 1-го порядка
                                                                             y′ = f (x, y)                                                 (2.1)
                                               у
                                                                          с начальным условием
             у0                                                              у (х0)=у0 .                                                   (2.2)
                                                                          Пусть правая часть (2.1) является аналитической функцией в начальной
                                                        х                 точке (х0, у0), то есть в некоторой окрестности этой точки может быть раз-
             х0                         у0                                ложена в степенной ряд вида
                                                                                        ∞
                           Рис.1.                                         f (x, y)=   ∑c
                                                                                      p,q =0
                                                                                               pq ( x − x 0 )
                                                                                                                p
                                                                                                                    (y − y 0 ) q ,

В. В приложениях часто встречаются системы ОДУ:                           где p, q – целые неотрицательные числа; сpq - постоянные коэффициенты.
    dy 1                                                                        Тогда существует единственное решение у=у(х) уравнения (2.1),
    dx = f 1 ( x , y1 , y 2 , ..., y n ),                                удовлетворяющее условию (2.2), причем это решение является аналити-
                                                                         ческим в точке х0 и может представлено в виде ряда Тейлора
    dy 2
         = f 2 ( x , y1 , y 2 , ..., y n ),                                            ∞
    dx
   . . .
                                                            (1.3)         у ≡ у(х)=    ∑c
                                                                                       p =0
                                                                                               p (x − x 0 )
                                                                                                              p
                                                                                                                    ,                                 (2.3)
   
    dy n                                                                                 1 (p)
    dx = f n ( x , y 1 , y 2 , ..., y n ),                              где c p =
                                                                                         p!
                                                                                             y (x 0 ) ,           p = 0, 1, 2, ...;
где х – независимая переменная; у1, у2, …, уn – искомые функции. Задача   Коэффициент с0 определяется из условия (2.2):
Коши (1.3) заключается в отыскании у1, у2, …, уn , удовлетворяющих сис-   с0 = у(х0)=у0 .
теме (1.3) и начальным условиям                                           Коэффициент с1 находится из (2.1):
у1(х0)=у10 , у2 (х0)=у20 , …, уn (х0)=уn0 .                               с1=у′(х0)=f(х0, у0).
        Примечание. Даже для простейшего ОДУ первого порядка (1.1)        Далее найдем
нахождение решения бывает невыполнимо с помощью конечного числа
                                                                          у′′ = f x' ( x, y) + f y' ( x, y) y'x ,
математических операций. Тем более это затруднено для системы ОДУ.
        Указанное обстоятельство привело к созданию большого числа ме-    отсюда
тодов приближенного решения. Эти методы в зависимости от формы
можно разделить на три основные группы:
                                                                               1                 1
                                                                                                      [
                                                                          c 2 = y' ' ( x 0 ) = f x' ( x 0 , y 0 ) + f y' ( x 0 , y 0 ) y '0
                                                                               2                 2
                                                                                                                                              ]   ,
1. Аналитические методы, дающие приближенное решение ОДУ в виде                 '
                                                                          где y 0 = f ( x 0 , y 0 ) .
     аналитического выражения.
2. Графические методы, дающие приближенное решение в виде графика.
3. Численные методы, дающие приближенное решение в виде таблицы.