Основы вычислительной математики. Выпуск 5. Ширапов Д.Ш - 4 стр.

UptoLike

Рубрика: 

7
Далее находим у′′′,
IV
y и т.д. и аналогично могут быть определены коэф-
фициенты с
4
, с
5
и т.д. Следовательно, формально построено аналитиче-
ское решение (2.3).
Б. Вышеизложенный способ нахождения решения дифференциального
уравнения методом разложения в ряды легко обобщается на случай диф-
ференциального уравнения n-го порядка.
Пусть имеем дифференциальное уравнение 2-го порядка
у′′ =f(x, y, у ) (2.4)
с начальными условиями
у(х
0
)=у
0
, у (х
0
)=
'
0
y . (2.5)
Предполагая, что функция f (x, y, у ) аналитическая в начальной
точке (х
0
, у
0
,
'
0
y ) будем искать решение задачи Коши (2.4) и (2.5) в виде
ряда Тейлора
у(х)=
=
0p
p
0
)p(
0
)xx(
!p
y
. (2.6)
Здесь у
0
и
'
0
y известны из (2.5). Из (2.4) получим
)y,y,x(fy
'
000
''
0
= .
Дифференцируя последовательно (2.4) по х согласно правилу дифферен-
цирования сложной функции и полагая х = х
0
, будем иметь
у′′′ =
''
0
'
000
'
y
'
0
'
000
'
y
'
000
'
x
y)y,y,x(fy)y,y,x(f)y,y,x(f
'
++
и так далее. Таким образом, может быть построен ряд (2.6), который явля-
ется решением задачи (2.4) и (2.5).
3. Метод последовательных приближений
Рассмотрим уравнение первого порядка
y = f (x, y) (3.1)
с начальным условием
у(х
0
)=у
0
. (3.2)
Предположим, что в окрестности точки М
0
(х
0
, у
0
) уравнение (3.1) удовле-
творяет условиям теоремы существования и единственности решения.
Ищем решение у=у(х) для значений хх
0
( случай хх
0
аналогичен).
Интегрируя правую и левую части (3.1) в пределах от х
0
до х получим
8
y (x) - у (х
0
) =
x
x
0
dx)y,x(f
в силу условия (3.2) будем иметь
у (x) = у
0
+
x
x
0
dx)y,x(f
(3.3)
Тогда, заменяя в (3.3) неизвестную функцию у данным значением
у
0
, получим первое приближение
у
1
= у
0
+
x
x
0
0
dx)y,x(f
далее
у
2
= у
0
+
x
x
1
0
dx)y,x(f
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
у
n
= у
0
+
x
x
1n
0
dx)y,x(f ( n=1, 2, . . . ). (3.4)
)x(ylim
n
n
=y(x) удовлетворяющий уравнению (3.1) и условию (3.2) явля-
ется решением (3.1).
Оценка погрешности метода последовательных приближений
(МПП) производится по формуле
ε
n
(x) MN
n
)!1n(
)xx(
1n
0
+
+
, n = 0, 1, 2, . . . ; (3.5)
где N – постоянная Липшица, М
)y,x(fmax
R)y,x(
.
Из (3.5) следует, что
ε
n
(x) 0 при n .
Замечания:
1. При использовании МПП в качестве начального приближения у
0
выби-
рается любая функция, достаточно близкая к точному решению.
2.
При использовании МПП аналитичность правой части дифференци-
ального уравнения не обязательна.