Основы вычислительной математики. Выпуск 5. Ширапов Д.Ш - 4 стр.

                                                 7                                                                                                              8



Далее находим у′′′, y IV и т.д. и аналогично могут быть определены коэф-                                                      x

фициенты с4 , с5 и т.д. Следовательно, формально построено аналитиче-
                                                                                                        y (x) - у (х0 ) =     ∫ f (x, y)dx
                                                                                                                              x0
ское решение (2.3).
Б. Вышеизложенный способ нахождения решения дифференциального                                           в силу условия (3.2) будем иметь
уравнения методом разложения в ряды легко обобщается на случай диф-                                                      x
ференциального уравнения n-го порядка.
        Пусть имеем дифференциальное уравнение 2-го порядка
                                                                                                                         ∫
                                                                                                        у (x) = у0 + f ( x , y)dx
                                                                                                                         x0
                                                                                                                                                                            (3.3)

у′′ =f(x, y, у′ )                                                 (2.4)                                        Тогда, заменяя в (3.3) неизвестную функцию у данным значением
с начальными условиями                                                                                  у0 , получим первое приближение
у(х0)=у0 , у′ (х0)= y '0 .                                        (2.5)                                             x

        Предполагая, что функция f (x, y, у′ ) аналитическая в начальной                                у1 = у0 +   ∫ f (x, y     0 )dx

точке (х0, у0, y '0 ) будем искать решение задачи Коши (2.4) и (2.5) в виде                                         x0

ряда Тейлора                                                                                            далее
                                                                                                                     x
        ∞
            y (0p )
у(х)=  ∑     p  !
                    (x − x 0 ) p .                               (2.6)                                  у2 = у0 +   ∫ f (x, y )dx
                                                                                                                    x0
                                                                                                                                  1
       p =0

Здесь у0 и y '0 известны из (2.5). Из (2.4) получим                                                     .....................
                                                                                                                     x
y '0' = f ( x 0 , y 0 , y '0 ) .
Дифференцируя последовательно (2.4) по х согласно правилу дифферен-
                                                                                                        уn = у0 +   ∫ f ( x, y
                                                                                                                    x0
                                                                                                                                   n −1 )dx   ( n=1, 2, . . . ).          (3.4)

цирования сложной функции и полагая х = х0 , будем иметь
у′′′ = f x' ( x 0 , y 0 , y '0 ) + f y' ( x 0 , y 0 , y '0 ) y '0 + f y' ' ( x 0 , y 0 , y '0 ) y '0'   lim y n ( x ) =y(x) удовлетворяющий уравнению (3.1) и условию (3.2) явля-
                                                                                                        n →∞
и так далее. Таким образом, может быть построен ряд (2.6), который явля-                                ется решением (3.1).
ется решением задачи (2.4) и (2.5).                                                                             Оценка погрешности метода последовательных приближений
                                                                                                        (МПП) производится по формуле
                    3. Метод последовательных приближений
                                                                                                                      (x − x0 )n +1
        Рассмотрим уравнение первого порядка                                                            ε n (x) ≤ MNn               , n = 0, 1, 2, . . . ;   (3.5)
                                                                                                                        (n + 1)!
y′ = f (x, y)                                                 (3.1)
с начальным условием                                                                                    где N – постоянная Липшица, М ≥ max f ( x, y) .
                                                                                                                                                            ( x , y )∈R
у(х0)=у0 .                                                    (3.2)                                     Из (3.5) следует, что ε n (x) → 0 при n → ∞ .
Предположим, что в окрестности точки М0 (х0, у0) уравнение (3.1) удовле-
                                                                                                        Замечания:
творяет условиям теоремы существования и единственности решения.                                        1. При использовании МПП в качестве начального приближения у0 выби-
    Ищем решение у=у(х) для значений х≥х0 ( случай х≤х0 аналогичен).                                       рается любая функция, достаточно близкая к точному решению.
Интегрируя правую и левую части (3.1) в пределах от х0 до х получим                                     2. При использовании МПП аналитичность правой части дифференци-
                                                                                                           ального уравнения не обязательна.