ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
7
Далее находим у′′′,
IV
y и т.д. и аналогично могут быть определены коэф-
фициенты с
4
, с
5
и т.д. Следовательно, формально построено аналитиче-
ское решение (2.3).
Б. Вышеизложенный способ нахождения решения дифференциального
уравнения методом разложения в ряды легко обобщается на случай диф-
ференциального уравнения n-го порядка.
Пусть имеем дифференциальное уравнение 2-го порядка
у′′ =f(x, y, у′ ) (2.4)
с начальными условиями
у(х
0
)=у
0
, у′ (х
0
)=
'
0
y . (2.5)
Предполагая, что функция f (x, y, у′ ) аналитическая в начальной
точке (х
0
, у
0
,
'
0
y ) будем искать решение задачи Коши (2.4) и (2.5) в виде
ряда Тейлора
у(х)=
∑
∞
=
−
0p
p
0
)p(
0
)xx(
!p
y
. (2.6)
Здесь у
0
и
'
0
y известны из (2.5). Из (2.4) получим
)y,y,x(fy
'
000
''
0
= .
Дифференцируя последовательно (2.4) по х согласно правилу дифферен-
цирования сложной функции и полагая х = х
0
, будем иметь
у′′′ =
''
0
'
000
'
y
'
0
'
000
'
y
'
000
'
x
y)y,y,x(fy)y,y,x(f)y,y,x(f
'
++
и так далее. Таким образом, может быть построен ряд (2.6), который явля-
ется решением задачи (2.4) и (2.5).
3. Метод последовательных приближений
Рассмотрим уравнение первого порядка
y′ = f (x, y) (3.1)
с начальным условием
у(х
0
)=у
0
. (3.2)
Предположим, что в окрестности точки М
0
(х
0
, у
0
) уравнение (3.1) удовле-
творяет условиям теоремы существования и единственности решения.
Ищем решение у=у(х) для значений х≥х
0
( случай х≤х
0
аналогичен).
Интегрируя правую и левую части (3.1) в пределах от х
0
до х получим
8
y (x) - у (х
0
) =
∫
x
x
0
dx)y,x(f
в силу условия (3.2) будем иметь
у (x) = у
0
+
∫
x
x
0
dx)y,x(f
(3.3)
Тогда, заменяя в (3.3) неизвестную функцию у данным значением
у
0
, получим первое приближение
у
1
= у
0
+
∫
x
x
0
0
dx)y,x(f
далее
у
2
= у
0
+
∫
x
x
1
0
dx)y,x(f
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
у
n
= у
0
+
∫
−
x
x
1n
0
dx)y,x(f ( n=1, 2, . . . ). (3.4)
)x(ylim
n
n ∞→
=y(x) удовлетворяющий уравнению (3.1) и условию (3.2) явля-
ется решением (3.1).
Оценка погрешности метода последовательных приближений
(МПП) производится по формуле
ε
n
(x) ≤ MN
n
)!1n(
)xx(
1n
0
+
−
+
, n = 0, 1, 2, . . . ; (3.5)
где N – постоянная Липшица, М ≥
)y,x(fmax
R)y,x( ∈
.
Из (3.5) следует, что
ε
n
(x) → 0 при n → ∞ .
Замечания:
1. При использовании МПП в качестве начального приближения у
0
выби-
рается любая функция, достаточно близкая к точному решению.
2.
При использовании МПП аналитичность правой части дифференци-
ального уравнения не обязательна.
7 8
Далее находим у′′′, y IV и т.д. и аналогично могут быть определены коэф- x
фициенты с4 , с5 и т.д. Следовательно, формально построено аналитиче-
y (x) - у (х0 ) = ∫ f (x, y)dx
x0
ское решение (2.3).
Б. Вышеизложенный способ нахождения решения дифференциального в силу условия (3.2) будем иметь
уравнения методом разложения в ряды легко обобщается на случай диф- x
ференциального уравнения n-го порядка.
Пусть имеем дифференциальное уравнение 2-го порядка
∫
у (x) = у0 + f ( x , y)dx
x0
(3.3)
у′′ =f(x, y, у′ ) (2.4) Тогда, заменяя в (3.3) неизвестную функцию у данным значением
с начальными условиями у0 , получим первое приближение
у(х0)=у0 , у′ (х0)= y '0 . (2.5) x
Предполагая, что функция f (x, y, у′ ) аналитическая в начальной у1 = у0 + ∫ f (x, y 0 )dx
точке (х0, у0, y '0 ) будем искать решение задачи Коши (2.4) и (2.5) в виде x0
ряда Тейлора далее
x
∞
y (0p )
у(х)= ∑ p !
(x − x 0 ) p . (2.6) у2 = у0 + ∫ f (x, y )dx
x0
1
p =0
Здесь у0 и y '0 известны из (2.5). Из (2.4) получим .....................
x
y '0' = f ( x 0 , y 0 , y '0 ) .
Дифференцируя последовательно (2.4) по х согласно правилу дифферен-
уn = у0 + ∫ f ( x, y
x0
n −1 )dx ( n=1, 2, . . . ). (3.4)
цирования сложной функции и полагая х = х0 , будем иметь
у′′′ = f x' ( x 0 , y 0 , y '0 ) + f y' ( x 0 , y 0 , y '0 ) y '0 + f y' ' ( x 0 , y 0 , y '0 ) y '0' lim y n ( x ) =y(x) удовлетворяющий уравнению (3.1) и условию (3.2) явля-
n →∞
и так далее. Таким образом, может быть построен ряд (2.6), который явля- ется решением (3.1).
ется решением задачи (2.4) и (2.5). Оценка погрешности метода последовательных приближений
(МПП) производится по формуле
3. Метод последовательных приближений
(x − x0 )n +1
Рассмотрим уравнение первого порядка ε n (x) ≤ MNn , n = 0, 1, 2, . . . ; (3.5)
(n + 1)!
y′ = f (x, y) (3.1)
с начальным условием где N – постоянная Липшица, М ≥ max f ( x, y) .
( x , y )∈R
у(х0)=у0 . (3.2) Из (3.5) следует, что ε n (x) → 0 при n → ∞ .
Предположим, что в окрестности точки М0 (х0, у0) уравнение (3.1) удовле-
Замечания:
творяет условиям теоремы существования и единственности решения. 1. При использовании МПП в качестве начального приближения у0 выби-
Ищем решение у=у(х) для значений х≥х0 ( случай х≤х0 аналогичен). рается любая функция, достаточно близкая к точному решению.
Интегрируя правую и левую части (3.1) в пределах от х0 до х получим 2. При использовании МПП аналитичность правой части дифференци-
ального уравнения не обязательна.
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 2
- 3
- 4
- 5
- 6
- …
- следующая ›
- последняя »
