ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
3 4
СОДЕРЖАНИЕ Введение
Дифференциальные уравнения являются инструментом познания
Введение ………………………………………………………………4 мира и, как любой инструмент, они развиваются и совершенствуются.
1. Постановка задачи……………………………………………….4 «Познание мира» с помощью дифференциальных уравнений обычно со-
2. Метод разложения в ряды……………………………………….6 стоит из двух этапов:
3. Метод последовательных приближений………………………..7 1. Составление модели (дифференциального уравнения, описы-
4. Метод Эйлера……………………………………………………..9 вающего то или иное явление). Например,
5. Метод Рунге-Кутта………………………………………………11 d2r d2r
6. Метод Адамса……………………………………………………12 m 2 = F t , r, 2 – второй закон Ньютона,
dt dt
7. Метод Милна…………………………………………………….14
8. Явная и неявная схемы аппроксимации задачи Коши………..15 ∂2U ∂2U ∂2U
9. Решение системы дифференциальных уравнений 2
+ 2
+ = 0 – уравнение Лапласа,
первого порядка………………………………………………….16 ∂x ∂y ∂z 2
10. Решение системы дифференциальных уравнений ∂2U ∂2U ∂2U
высших порядков………………………………………………...19 + +
= 4 π ρ ( x , y, z) – уравнение Пуассона.
11. Замечания об оценке погрешностей решений ∂x 2 ∂y 2 ∂z 2
дифференциальных уравнений………………………………….20 2. Исследование с помощью получившейся модели и самой модели.
12. Задания для решения…………………………………………….21
Литература……………………………………………………………..25 1. Постановка задачи
А. Простейшим обыкновенным дифференциальным уравнением (ОДУ)
является уравнение первого порядка
у′ = f (x, y ). (1.1)
Основная задача, относящаяся к этому уравнению, есть задача Ко-
ши:
Найти решение уравнения (1.1)
у = у (х) ,
удовлетворяющее начальному условию
у (х0) = у0 . (1.2)
Другими словами, требуется найти интегральную кривую у=у(х), прохо-
дящую через заданную точку М0 (х0 , у0) (см. рис.1).
Б. Для дифференциального уравнения n-го порядка
y(n) = f ( x, y, y′, …, y(n-1) )
задачи Коши состоит в нахождении решения
у = у (х),
удовлетворяющего начальным условиям
у (х0) = у0 , у′ ( х0 ) = у′0 , …, y(n-1) ( х0 ) = y(0n −1) ,
где х0 , у0 , у′0 , …, y (0n −1) - заданные числа.
