ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
3
СОДЕРЖАНИЕ
Введение ………………………………………………………………4
1. Постановка задачи……………………………………………….4
2. Метод разложения в ряды……………………………………….6
3. Метод последовательных приближений………………………..7
4. Метод Эйлера……………………………………………………..9
5. Метод Рунге-Кутта………………………………………………11
6. Метод Адамса……………………………………………………12
7. Метод Милна…………………………………………………….14
8. Явная и неявная схемы аппроксимации задачи Коши………..15
9. Решение системы дифференциальных уравнений
первого порядка………………………………………………….16
10. Решение системы дифференциальных уравнений
высших порядков………………………………………………...19
11. Замечания об оценке погрешностей решений
дифференциальных уравнений………………………………….20
12. Задания для решения…………………………………………….21
Литература……………………………………………………………..25
4
Введение
Дифференциальные уравнения являются инструментом познания
мира и, как любой инструмент, они развиваются и совершенствуются.
«Познание мира» с помощью дифференциальных уравнений обычно со-
стоит из двух этапов:
1. Составление модели (дифференциального уравнения, описы-
вающего то или иное явление). Например,
=
2
2
2
2
dt
rd
,r,tF
dt
rd
m
– второй закон Ньютона,
0
z
U
y
U
x
U
2
2
2
2
2
2
=
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
– уравнение Лапласа,
)z,y,x(4
z
U
y
U
x
U
2
2
2
2
2
2
ρπ=
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
– уравнение Пуассона.
2. Исследование с помощью получившейся модели и самой модели.
1. Постановка задачи
А. Простейшим обыкновенным дифференциальным уравнением (ОДУ)
является уравнение первого порядка
у′ = f (x, y ). (1.1)
Основная задача, относящаяся к этому уравнению, есть задача Ко-
ши:
Найти решение уравнения (1.1)
у = у (х) ,
удовлетворяющее начальному условию
у (х
0
) = у
0
. (1.2)
Другими словами, требуется найти интегральную кривую у=у(х), прохо-
дящую через заданную точку М
0
(х
0
, у
0
) (см. рис.1).
Б. Для дифференциального уравнения n-го порядка
y
(n)
= f ( x, y, y′, …, y
(n-1)
)
задачи Коши состоит в нахождении решения
у = у (х),
удовлетворяющего начальным условиям
у (х
0
) = у
0
, у′ ( х
0
) = у′
0
, …, y
(n-1)
( х
0
) =
)1n(
0
y
−
,
где х
0
, у
0
, у′
0
, …,
)1n(
0
y
−
- заданные числа.
3 4
СОДЕРЖАНИЕ Введение
Дифференциальные уравнения являются инструментом познания
Введение ………………………………………………………………4 мира и, как любой инструмент, они развиваются и совершенствуются.
1. Постановка задачи……………………………………………….4 «Познание мира» с помощью дифференциальных уравнений обычно со-
2. Метод разложения в ряды……………………………………….6 стоит из двух этапов:
3. Метод последовательных приближений………………………..7 1. Составление модели (дифференциального уравнения, описы-
4. Метод Эйлера……………………………………………………..9 вающего то или иное явление). Например,
5. Метод Рунге-Кутта………………………………………………11 d2r d2r
6. Метод Адамса……………………………………………………12 m 2 = F t , r, 2 – второй закон Ньютона,
dt dt
7. Метод Милна…………………………………………………….14
8. Явная и неявная схемы аппроксимации задачи Коши………..15 ∂2U ∂2U ∂2U
9. Решение системы дифференциальных уравнений 2
+ 2
+ = 0 – уравнение Лапласа,
первого порядка………………………………………………….16 ∂x ∂y ∂z 2
10. Решение системы дифференциальных уравнений ∂2U ∂2U ∂2U
высших порядков………………………………………………...19 + +
= 4 π ρ ( x , y, z) – уравнение Пуассона.
11. Замечания об оценке погрешностей решений ∂x 2 ∂y 2 ∂z 2
дифференциальных уравнений………………………………….20 2. Исследование с помощью получившейся модели и самой модели.
12. Задания для решения…………………………………………….21
Литература……………………………………………………………..25 1. Постановка задачи
А. Простейшим обыкновенным дифференциальным уравнением (ОДУ)
является уравнение первого порядка
у′ = f (x, y ). (1.1)
Основная задача, относящаяся к этому уравнению, есть задача Ко-
ши:
Найти решение уравнения (1.1)
у = у (х) ,
удовлетворяющее начальному условию
у (х0) = у0 . (1.2)
Другими словами, требуется найти интегральную кривую у=у(х), прохо-
дящую через заданную точку М0 (х0 , у0) (см. рис.1).
Б. Для дифференциального уравнения n-го порядка
y(n) = f ( x, y, y′, …, y(n-1) )
задачи Коши состоит в нахождении решения
у = у (х),
удовлетворяющего начальным условиям
у (х0) = у0 , у′ ( х0 ) = у′0 , …, y(n-1) ( х0 ) = y(0n −1) ,
где х0 , у0 , у′0 , …, y (0n −1) - заданные числа.
