ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
19
δ
i
(h/2) ≈
12
|}(h/2)y(h)y{|max
p
kiki
ni1
−
−
≤≤
, (9.6)
где p- порядок точности численного метода.
Численное решение задачи Коши для системы дифференцирован-
ных уравнений можно найти с помощью метода Рунге-Кутта четвертого
порядка. Векторная форма, алгоритма метода Рунге-Кутта для задачи (9.5)
соответствует рекуррентным формулам (5.2) и имеет вид
x
i
= x
i-1
+ h, Y
i
= Y
i-1
+ ∆Y
i-1
, ( m1,i = ),
),K)2K2K(K
6
1
ДY
1][i
4
1][i
3
1][i
2
1][i
11i
−−−−
−
+++=
),K
2
1
Yh,
2
1
hF(xK
),K
2
1
Yh,
2
1
hF(xK
),y,hF(xK
1][i
21i1i
1][i
3
1][i
11i1i
1][i
2
1i1i
1][i
1
−
−−
−
−
−−
−
−−
−
++=
++=
=
),KYh,hF(xK
1][i
3
1i1i
1][i
4
−
−−
−
++=
где векторы
−−−
=
−
−
−
−
1][i
jn
1][i
j2
1][i
j1
1][i
j
k
k
k
K
(j = 1, 2, 3, 4).
10. Решение дифференцированных уравнений
высших порядков
Задача Коши для дифференцированного уравнения n-го порядка
ставится так: найти решение уравнения
)y,...,''y,'y,y,x(fy
)1n()n( −
= (10.1)
при начальных условиях
.y)(xy,...,y)(xy',y)y(x
1)(n
0
0
1)(n'
0000
−
−
=== (10.2)
Задачи Коши (10.1) - (10.2) для дифференциального уравнения n-го поряд-
ка приводится к задаче Коши для системы n дифференциальных уравне-
20
ний первого порядка (9.3) - (9.4), к которой затем применяют численные
методы решения систем.
Положим
'
1nn
'
23
'
121
yy,...,yy,yyy,y
−
====
и выразим функцию y(x) вместе с её производными до (n -1)-го порядка
включительно через введенные функции:
.yy,...,y''y,y'y,yy
n
)1n(
321
====
−
Теперь вместо задачи (10.1) - (10.2) имеем задачу для системы уравнений
=
=
−−−
=
=
−
)y,...,y,y,x(fy
,yy
,yy
,yy
n21
'
n
n
'
1n
3
'
2
2
'
1
(10.3)
при начальных условиях
.y)x(y,...y)x(y,y)x(y
)1n(
0
0n
'
002001
−
=== (10.4)
Отметим, что численное решение задачи Коши (10.1) - (10.2.) - это табли-
ца значений y
i
= y
1i
в точках x
i
( m1,i = ).
11. Замечания об оценке погрешностей решений
дифференциальных уравнений
Гарантией правильности решения дифференциальных уравнений
может служить:
1)
проверка выполнения условий задачи (например, проверка подстанов-
кой, полученного приближенного решения в решаемое уравнение и
оценка расхождения правой и левой части);
2)
двойной пересчет по возможности другим методом;
3)
применение более грубой схемы;
4)
качественный анализ задачи.
Пусть y(x) - искомая функция (решение задачи Коши), значения y
i
=
y(x
i
) которой обычно определяются в узлах.
Обозначим через
)x(y
~
y
~
ii
=
- приближенное решение. Тогда абсо-
лютная погрешность приближенного решения
)x(y
~
выразится формулой
.yy
~
iii
−≥δ .
19 20 max{| y ki (h) − y ki (h/2) |} ний первого порядка (9.3) - (9.4), к которой затем применяют численные 1≤i ≤ n методы решения систем. δi(h/2) ≈ , (9.6) 2 p −1 Положим где p- порядок точности численного метода. y 1 = y, y 2 = y 1' , y 3 = y '2 ,..., y n = y 'n −1 Численное решение задачи Коши для системы дифференцирован- и выразим функцию y(x) вместе с её производными до (n -1)-го порядка ных уравнений можно найти с помощью метода Рунге-Кутта четвертого включительно через введенные функции: порядка. Векторная форма, алгоритма метода Рунге-Кутта для задачи (9.5) соответствует рекуррентным формулам (5.2) и имеет вид y = y 1 , y' = y 2 , y' ' = y 3 ,..., y ( n −1) = y n . xi = xi-1 + h, Yi = Yi-1 + ∆Yi-1 , ( i = 1, m ), Теперь вместо задачи (10.1) - (10.2) имеем задачу для системы уравнений 1 [i −1] y1' = y 2 , ДYi −1 = (K1 + 2K[i2 −1] + 2K[i3 −1] ) + K[i4 −1] ), ' 6 y 2 = y 3 , K1[i−1] = hF(xi −1, yi −1), − − − (10.3) 1 1 y ' = y , K[i2−1] = hF(xi −1 + h, Yi −1 + K1[i−1] ), n −1 n 2 2 y 'n = f ( x , y1 , y 2 ,..., y n ) 1 1 K[i3−1] = hF(xi −1 + h, Yi −1 + K[i2−1] ), при начальных условиях 2 2 y 1 ( x 0 ) = y 0 , y 2 ( x 0 ) = y '0 ,...y n ( x 0 ) = y (0n −1) . (10.4) K 4 = hF(xi −1 + h, Yi −1 + K [i3−1] ), [i−1] Отметим, что численное решение задачи Коши (10.1) - (10.2.) - это табли- k [ij1−1] ца значений yi = y1i в точках xi ( i = 1, m ). k [i −1] где векторы K [ij −1] = j2 (j = 1, 2, 3, 4). 11. Замечания об оценке погрешностей решений − − − дифференциальных уравнений [i −1] Гарантией правильности решения дифференциальных уравнений k jn может служить: 1) проверка выполнения условий задачи (например, проверка подстанов- 10. Решение дифференцированных уравнений кой, полученного приближенного решения в решаемое уравнение и высших порядков оценка расхождения правой и левой части); Задача Коши для дифференцированного уравнения n-го порядка 2) двойной пересчет по возможности другим методом; ставится так: найти решение уравнения 3) применение более грубой схемы; y ( n ) = f ( x , y, y' , y' ' ,..., y ( n −1) ) (10.1) 4) качественный анализ задачи. Пусть y(x) - искомая функция (решение задачи Коши), значения yi = при начальных условиях −1) y(xi) которой обычно определяются в узлах. y(x 0 ) = y 0 , y' (x 0 ) = y '0 ,..., y (n −1) (x 0 ) = y (n 0 . (10.2) Обозначим через ~y i = ~y( x i ) - приближенное решение. Тогда абсо- Задачи Коши (10.1) - (10.2) для дифференциального уравнения n-го поряд- лютная погрешность приближенного решения ~y ( x ) выразится формулой ка приводится к задаче Коши для системы n дифференциальных уравне- δ ≥ ~y − y . . i i i
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 8
- 9
- 10
- 11
- 12
- следующая ›
- последняя »