Основы вычислительной математики. Выпуск 5. Ширапов Д.Ш - 10 стр.

                                                      19                                                                                20



             max{| y ki (h) − y ki (h/2) |}                                    ний первого порядка (9.3) - (9.4), к которой затем применяют численные
             1≤i ≤ n                                                           методы решения систем.
δi(h/2) ≈                                         ,                   (9.6)
                     2 p −1                                                             Положим
где p- порядок точности численного метода.                                     y 1 = y, y 2 = y 1' , y 3 = y '2 ,..., y n = y 'n −1
         Численное решение задачи Коши для системы дифференцирован-
                                                                               и выразим функцию y(x) вместе с её производными до (n -1)-го порядка
ных уравнений можно найти с помощью метода Рунге-Кутта четвертого
                                                                               включительно через введенные функции:
порядка. Векторная форма, алгоритма метода Рунге-Кутта для задачи (9.5)
соответствует рекуррентным формулам (5.2) и имеет вид                          y = y 1 , y' = y 2 , y' ' = y 3 ,..., y ( n −1) = y n .
xi = xi-1 + h, Yi = Yi-1 + ∆Yi-1 , ( i = 1, m ),                               Теперь вместо задачи (10.1) - (10.2) имеем задачу для системы уравнений
            1 [i −1]                                                            y1' = y 2 ,
ДYi −1 =      (K1 + 2K[i2 −1] + 2K[i3 −1] ) + K[i4 −1] ),                       '
            6                                                                  y 2 = y 3 ,
                                                                               
K1[i−1] = hF(xi −1, yi −1),                                                    − − −                                                        (10.3)
                    1          1                                               y ' = y ,
K[i2−1] = hF(xi −1 + h, Yi −1 + K1[i−1] ),                                      n −1        n
                    2          2                                                y 'n = f ( x , y1 , y 2 ,..., y n )
                                                                               
                    1          1
K[i3−1] = hF(xi −1 + h, Yi −1 + K[i2−1] ),                                     при начальных условиях
                    2          2
                                                                               y 1 ( x 0 ) = y 0 , y 2 ( x 0 ) = y '0 ,...y n ( x 0 ) = y (0n −1) .   (10.4)
   K 4 = hF(xi −1 + h, Yi −1 + K [i3−1] ),
     [i−1]
                                                                               Отметим, что численное решение задачи Коши (10.1) - (10.2.) - это табли-
                              k [ij1−1]                                      ца значений yi = y1i в точках xi ( i = 1, m ).
                                        
                              k [i −1] 
где векторы K [ij −1]       =  j2              (j = 1, 2, 3, 4).                         11. Замечания об оценке погрешностей решений
                              − − −                                                                дифференциальных уравнений
                               [i −1]                                               Гарантией правильности решения дифференциальных уравнений
                              k jn 
                                                                               может служить:
                                                                               1) проверка выполнения условий задачи (например, проверка подстанов-
                     10. Решение дифференцированных уравнений                       кой, полученного приближенного решения в решаемое уравнение и
                                               высших порядков                      оценка расхождения правой и левой части);
          Задача Коши для дифференцированного уравнения n-го порядка           2) двойной пересчет по возможности другим методом;
ставится так: найти решение уравнения                                          3) применение более грубой схемы;
y ( n ) = f ( x , y, y' , y' ' ,..., y ( n −1) )               (10.1)          4) качественный анализ задачи.
                                                                                      Пусть y(x) - искомая функция (решение задачи Коши), значения yi =
при начальных условиях
                                                              −1)
                                                                               y(xi) которой обычно определяются в узлах.
y(x 0 ) = y 0 , y' (x 0 ) = y '0 ,..., y (n −1) (x 0 ) = y (n
                                                           0      .   (10.2)          Обозначим через ~y i = ~y( x i ) - приближенное решение. Тогда абсо-
Задачи Коши (10.1) - (10.2) для дифференциального уравнения n-го поряд-        лютная погрешность приближенного решения ~y ( x ) выразится формулой
ка приводится к задаче Коши для системы n дифференциальных уравне-
                                                                               δ ≥ ~y − y . .
                                                                                i        i      i