Основы вычислительной математики. Выпуск 5. Ширапов Д.Ш - 10 стр.

UptoLike

Рубрика: 

19
δ
i
(h/2)
12
|}(h/2)y(h)y{|max
p
kiki
ni1
, (9.6)
где p- порядок точности численного метода.
Численное решение задачи Коши для системы дифференцирован-
ных уравнений можно найти с помощью метода Рунге-Кутта четвертого
порядка. Векторная форма, алгоритма метода Рунге-Кутта для задачи (9.5)
соответствует рекуррентным формулам (5.2) и имеет вид
x
i
= x
i-1
+ h, Y
i
= Y
i-1
+ Y
i-1
, ( m1,i = ),
),K)2K2K(K
6
1
ДY
1][i
4
1][i
3
1][i
2
1][i
11i
+++=
),K
2
1
Yh,
2
1
hF(xK
),K
2
1
Yh,
2
1
hF(xK
),y,hF(xK
1][i
21i1i
1][i
3
1][i
11i1i
1][i
2
1i1i
1][i
1
++=
++=
=
),KYh,hF(xK
1][i
3
1i1i
1][i
4
++=
где векторы
=
1][i
jn
1][i
j2
1][i
j1
1][i
j
k
k
k
K
(j = 1, 2, 3, 4).
10. Решение дифференцированных уравнений
высших порядков
Задача Коши для дифференцированного уравнения n-го порядка
ставится так: найти решение уравнения
)y,...,''y,'y,y,x(fy
)1n()n(
= (10.1)
при начальных условиях
.y)(xy,...,y)(xy',y)y(x
1)(n
0
0
1)(n'
0000
=== (10.2)
Задачи Коши (10.1) - (10.2) для дифференциального уравнения n-го поряд-
ка приводится к задаче Коши для системы n дифференциальных уравне-
20
ний первого порядка (9.3) - (9.4), к которой затем применяют численные
методы решения систем.
Положим
'
1nn
'
23
'
121
yy,...,yy,yyy,y
====
и выразим функцию y(x) вместе с её производными до (n -1)-го порядка
включительно через введенные функции:
.yy,...,y''y,y'y,yy
n
)1n(
321
====
Теперь вместо задачи (10.1) - (10.2) имеем задачу для системы уравнений
=
=
=
=
)y,...,y,y,x(fy
,yy
,yy
,yy
n21
'
n
n
'
1n
3
'
2
2
'
1
(10.3)
при начальных условиях
.y)x(y,...y)x(y,y)x(y
)1n(
0
0n
'
002001
=== (10.4)
Отметим, что численное решение задачи Коши (10.1) - (10.2.) - это табли-
ца значений y
i
= y
1i
в точках x
i
( m1,i = ).
11. Замечания об оценке погрешностей решений
дифференциальных уравнений
Гарантией правильности решения дифференциальных уравнений
может служить:
1)
проверка выполнения условий задачи (например, проверка подстанов-
кой, полученного приближенного решения в решаемое уравнение и
оценка расхождения правой и левой части);
2)
двойной пересчет по возможности другим методом;
3)
применение более грубой схемы;
4)
качественный анализ задачи.
Пусть y(x) - искомая функция (решение задачи Коши), значения y
i
=
y(x
i
) которой обычно определяются в узлах.
Обозначим через
)x(y
~
y
~
ii
=
- приближенное решение. Тогда абсо-
лютная погрешность приближенного решения
)x(y
~
выразится формулой
.yy
~
iii
δ .
                                                      19                                                                                20



             max{| y ki (h) − y ki (h/2) |}                                    ний первого порядка (9.3) - (9.4), к которой затем применяют численные
             1≤i ≤ n                                                           методы решения систем.
δi(h/2) ≈                                         ,                   (9.6)
                     2 p −1                                                             Положим
где p- порядок точности численного метода.                                     y 1 = y, y 2 = y 1' , y 3 = y '2 ,..., y n = y 'n −1
         Численное решение задачи Коши для системы дифференцирован-
                                                                               и выразим функцию y(x) вместе с её производными до (n -1)-го порядка
ных уравнений можно найти с помощью метода Рунге-Кутта четвертого
                                                                               включительно через введенные функции:
порядка. Векторная форма, алгоритма метода Рунге-Кутта для задачи (9.5)
соответствует рекуррентным формулам (5.2) и имеет вид                          y = y 1 , y' = y 2 , y' ' = y 3 ,..., y ( n −1) = y n .
xi = xi-1 + h, Yi = Yi-1 + ∆Yi-1 , ( i = 1, m ),                               Теперь вместо задачи (10.1) - (10.2) имеем задачу для системы уравнений
            1 [i −1]                                                            y1' = y 2 ,
ДYi −1 =      (K1 + 2K[i2 −1] + 2K[i3 −1] ) + K[i4 −1] ),                       '
            6                                                                  y 2 = y 3 ,
                                                                               
K1[i−1] = hF(xi −1, yi −1),                                                    − − −                                                        (10.3)
                    1          1                                               y ' = y ,
K[i2−1] = hF(xi −1 + h, Yi −1 + K1[i−1] ),                                      n −1        n
                    2          2                                                y 'n = f ( x , y1 , y 2 ,..., y n )
                                                                               
                    1          1
K[i3−1] = hF(xi −1 + h, Yi −1 + K[i2−1] ),                                     при начальных условиях
                    2          2
                                                                               y 1 ( x 0 ) = y 0 , y 2 ( x 0 ) = y '0 ,...y n ( x 0 ) = y (0n −1) .   (10.4)
   K 4 = hF(xi −1 + h, Yi −1 + K [i3−1] ),
     [i−1]
                                                                               Отметим, что численное решение задачи Коши (10.1) - (10.2.) - это табли-
                              k [ij1−1]                                      ца значений yi = y1i в точках xi ( i = 1, m ).
                                        
                              k [i −1] 
где векторы K [ij −1]       =  j2              (j = 1, 2, 3, 4).                         11. Замечания об оценке погрешностей решений
                              − − −                                                                дифференциальных уравнений
                               [i −1]                                               Гарантией правильности решения дифференциальных уравнений
                              k jn 
                                                                               может служить:
                                                                               1) проверка выполнения условий задачи (например, проверка подстанов-
                     10. Решение дифференцированных уравнений                       кой, полученного приближенного решения в решаемое уравнение и
                                               высших порядков                      оценка расхождения правой и левой части);
          Задача Коши для дифференцированного уравнения n-го порядка           2) двойной пересчет по возможности другим методом;
ставится так: найти решение уравнения                                          3) применение более грубой схемы;
y ( n ) = f ( x , y, y' , y' ' ,..., y ( n −1) )               (10.1)          4) качественный анализ задачи.
                                                                                      Пусть y(x) - искомая функция (решение задачи Коши), значения yi =
при начальных условиях
                                                              −1)
                                                                               y(xi) которой обычно определяются в узлах.
y(x 0 ) = y 0 , y' (x 0 ) = y '0 ,..., y (n −1) (x 0 ) = y (n
                                                           0      .   (10.2)          Обозначим через ~y i = ~y( x i ) - приближенное решение. Тогда абсо-
Задачи Коши (10.1) - (10.2) для дифференциального уравнения n-го поряд-        лютная погрешность приближенного решения ~y ( x ) выразится формулой
ка приводится к задаче Коши для системы n дифференциальных уравне-
                                                                               δ ≥ ~y − y . .
                                                                                i        i      i