ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
– 5 –
образом, чтобы отклонение ϕ(х) от f(x) (в некотором опре-
деленном смысле) было наименьшим в заданной области. В
этом случае функцию f(x) называют аппроксимируемой, а
функцию ϕ(х) – аппроксимирующей.
Аппроксимация может быть точечной или непрерывной.
Аппроксимация называется точечной, если аппроксимирую-
щая функция строится на дискретном множестве точек {x
0
,
x
1
,…, x
n
}. Аппроксимация называется непрерывной (или ин-
тегральной), если функция ϕ(х) строится на непрерывном
множестве точек.
При постановке задачи аппроксимации предварительно
должны быть решены следующие вопросы:
1. Выбор узловых точек x
i
, если имеется некоторая сво-
бода в их выборе. В некоторых случаях удобно использовать
равностоящие значения аргумента, то есть x
i
- x
i-1
=h=const. В
других случаях, специальное распределение узлов x
i
, что по-
зволяет уменьшить погрешность аппроксимации.
2. Выбор класса функций. На практике чаще всего исполь-
зуют многочлены вида
ϕ(х)=a
0
+ a
1
x + a
2
x
2
+…+ a
m
x
m
. (1)
Такие приближения называют многочленными. Другой класс
аппроксимирующей функции ряд Фурье имеет вид
ϕ(х)= a
0
/2
+
∑
=
+
m
1k
kk
)kxsinbkxcosa(.
3. Критерий близости между аппроксимируемой функцией
f(x) и аппроксимирующей функцией ϕ(х).
2. Среднеквадратичное приближение
Среднеквадратичное приближение – это способ аппрок-
симации, при котором критерий близости исходной функции
f(x) и аппроксимирующей её функции ϕ(х) определяется как
сумма квадратов отклонений f(x) от ϕ(х) на заданной
– 6 –
системе точек и ищется такая функция ϕ(х), для которой эта
сумма будет минимальна.
Отметим, что такой подход часто используется в случае,
когда исходная табличная функция f(x) получена экспери-
ментально и требуется описать эту функцию аналитически,
вид которого известен, но параметры, от которых зависит это
выражение, подлежат определению. Другими словами, в ка-
честве аппроксимирующей функции берется известная функ-
ция ϕ(х; a
0
, a
1
, …, a
m
), зависящая от параметров a
i
.
Пусть функция у=f(x) задана таблично. Требуется по-
добрать такие значения параметров a
0
, a
1
, …, a
m
, при кото-
рых сумма квадратов отклонений функций f(x) и многочлена
ϕ(х) при всех значениях x
i
(i=0,1,2,…, n)
S=
∑
=
−ϕ
n
0i
2
im10i
]y)a,...,a,a;x([ (2)
будет минимальна. Так как значения аргументов x
i
заданы,
функция S(a
0
, a
1
, …, a
m
) будет зависеть только от парамет-
ров a
0
, a
1
, …, a
m
. Тогда задача сводится к задаче нахождения
минимума функции S. Из курса математического анализа из-
вестно, что для нахождения минимума функции (2) надо най-
ти частные производные этой функции по параметрам а
i
и
приравнять их нулю, тогда получим
∂S/∂a
0
=0, ∂S/∂a
1
=0, …, ∂S/∂a
m
=0. (3)
Формула (3) представляет собой систему алгебраических
уравнений, состоящих из (m+1) – уравнений и (m+1) – неиз-
вестных a
0
, a
1
, …, a
m
. Если функция S(a
0
, a
1
, …, a
m
) зависит
от аргументов линейно, то решается система линейных алгеб-
раических уравнений (СЛАУ) одним из методов [1-4, 6]. В
противном случае (3) представляет систему нелинейных ал-
гебраических уравнений, которая решается методами, опи-
санными в [2, 3]. Способ определения параметров a
i
описан-
ным выше образом называется методом наименьших квадра-
тов.
–5– –6–
образом, чтобы отклонение ϕ(х) от f(x) (в некотором опре- системе точек и ищется такая функция ϕ(х), для которой эта
деленном смысле) было наименьшим в заданной области. В сумма будет минимальна.
этом случае функцию f(x) называют аппроксимируемой, а Отметим, что такой подход часто используется в случае,
функцию ϕ(х) – аппроксимирующей. когда исходная табличная функция f(x) получена экспери-
Аппроксимация может быть точечной или непрерывной. ментально и требуется описать эту функцию аналитически,
Аппроксимация называется точечной, если аппроксимирую- вид которого известен, но параметры, от которых зависит это
щая функция строится на дискретном множестве точек {x0, выражение, подлежат определению. Другими словами, в ка-
x1,…, xn}. Аппроксимация называется непрерывной (или ин- честве аппроксимирующей функции берется известная функ-
тегральной), если функция ϕ(х) строится на непрерывном ция ϕ(х; a0 , a1 , …, am), зависящая от параметров ai .
множестве точек. Пусть функция у=f(x) задана таблично. Требуется по-
При постановке задачи аппроксимации предварительно добрать такие значения параметров a0 , a1 , …, am , при кото-
должны быть решены следующие вопросы: рых сумма квадратов отклонений функций f(x) и многочлена
1. Выбор узловых точек xi , если имеется некоторая сво- ϕ(х) при всех значениях xi (i=0,1,2,…, n)
бода в их выборе. В некоторых случаях удобно использовать n
равностоящие значения аргумента, то есть xi - xi-1 =h=const. В S= ∑ [ϕ( x i ; a 0 , a 1 ,..., a m ) − y i ] 2 (2)
i=0
других случаях, специальное распределение узлов xi , что по- будет минимальна. Так как значения аргументов xi заданы,
зволяет уменьшить погрешность аппроксимации. функция S(a0 , a1 , …, am) будет зависеть только от парамет-
2. Выбор класса функций. На практике чаще всего исполь- ров a0 , a1 , …, am . Тогда задача сводится к задаче нахождения
зуют многочлены вида минимума функции S. Из курса математического анализа из-
ϕ(х)=a0 + a1x + a2x2 +…+ amxm. (1) вестно, что для нахождения минимума функции (2) надо най-
Такие приближения называют многочленными. Другой класс ти частные производные этой функции по параметрам аi и
аппроксимирующей функции ряд Фурье имеет вид приравнять их нулю, тогда получим
m
ϕ(х)= a0/2 + ∑ (a k cos kx + b k sin kx ) . ∂S/∂a0=0, ∂S/∂a1=0, …, ∂S/∂am=0. (3)
k =1 Формула (3) представляет собой систему алгебраических
3. Критерий близости между аппроксимируемой функцией уравнений, состоящих из (m+1) – уравнений и (m+1) – неиз-
f(x) и аппроксимирующей функцией ϕ(х). вестных a0 , a1 , …, am . Если функция S(a0 , a1 , …, am) зависит
от аргументов линейно, то решается система линейных алгеб-
2. Среднеквадратичное приближение раических уравнений (СЛАУ) одним из методов [1-4, 6]. В
Среднеквадратичное приближение – это способ аппрок- противном случае (3) представляет систему нелинейных ал-
симации, при котором критерий близости исходной функции гебраических уравнений, которая решается методами, опи-
f(x) и аппроксимирующей её функции ϕ(х) определяется как санными в [2, 3]. Способ определения параметров ai описан-
сумма квадратов отклонений f(x) от ϕ(х) на заданной ным выше образом называется методом наименьших квадра-
тов.
