Основы вычислительной математики. Выпуск 7: Аппроксимация функций. Ширапов Д.Ш - 3 стр.

UptoLike

Рубрика: 

– 5 –
образом, чтобы отклонение ϕ(х) от f(x) (в некотором опре-
деленном смысле) было наименьшим в заданной области. В
этом случае функцию f(x) называют аппроксимируемой, а
функцию ϕ(х) – аппроксимирующей.
Аппроксимация может быть точечной или непрерывной.
Аппроксимация называется точечной, если аппроксимирую-
щая функция строится на дискретном множестве точек {x
0
,
x
1
,…, x
n
}. Аппроксимация называется непрерывной (или ин-
тегральной), если функция ϕ(х) строится на непрерывном
множестве точек.
При постановке задачи аппроксимации предварительно
должны быть решены следующие вопросы:
1. Выбор узловых точек x
i
, если имеется некоторая сво-
бода в их выборе. В некоторых случаях удобно использовать
равностоящие значения аргумента, то есть x
i
- x
i-1
=h=const. В
других случаях, специальное распределение узлов x
i
, что по-
зволяет уменьшить погрешность аппроксимации.
2. Выбор класса функций. На практике чаще всего исполь-
зуют многочлены вида
ϕ(х)=a
0
+ a
1
x + a
2
x
2
+…+ a
m
x
m
. (1)
Такие приближения называют многочленными. Другой класс
аппроксимирующей функции ряд Фурье имеет вид
ϕ(х)= a
0
/2
+
=
+
m
1k
kk
)kxsinbkxcosa(.
3. Критерий близости между аппроксимируемой функцией
f(x) и аппроксимирующей функцией ϕ(х).
2. Среднеквадратичное приближение
Среднеквадратичное приближение это способ аппрок-
симации, при котором критерий близости исходной функции
f(x) и аппроксимирующей её функции ϕ(х) определяется как
сумма квадратов отклонений f(x) от ϕ(х) на заданной
– 6 –
системе точек и ищется такая функция ϕ(х), для которой эта
сумма будет минимальна.
Отметим, что такой подход часто используется в случае,
когда исходная табличная функция f(x) получена экспери-
ментально и требуется описать эту функцию аналитически,
вид которого известен, но параметры, от которых зависит это
выражение, подлежат определению. Другими словами, в ка-
честве аппроксимирующей функции берется известная функ-
ция ϕ(х; a
0
, a
1
, …, a
m
), зависящая от параметров a
i
.
Пусть функция у=f(x) задана таблично. Требуется по-
добрать такие значения параметров a
0
, a
1
, …, a
m
, при кото-
рых сумма квадратов отклонений функций f(x) и многочлена
ϕ(х) при всех значениях x
i
(i=0,1,2,…, n)
S=
=
ϕ
n
0i
2
im10i
]y)a,...,a,a;x([ (2)
будет минимальна. Так как значения аргументов x
i
заданы,
функция S(a
0
, a
1
, …, a
m
) будет зависеть только от парамет-
ров a
0
, a
1
, …, a
m
. Тогда задача сводится к задаче нахождения
минимума функции S. Из курса математического анализа из-
вестно, что для нахождения минимума функции (2) надо най-
ти частные производные этой функции по параметрам а
i
и
приравнять их нулю, тогда получим
S/a
0
=0, S/a
1
=0, …, S/a
m
=0. (3)
Формула (3) представляет собой систему алгебраических
уравнений, состоящих из (m+1) – уравнений и (m+1) – неиз-
вестных a
0
, a
1
, …, a
m
. Если функция S(a
0
, a
1
, …, a
m
) зависит
от аргументов линейно, то решается система линейных алгеб-
раических уравнений (СЛАУ) одним из методов [1-4, 6]. В
противном случае (3) представляет систему нелинейных ал-
гебраических уравнений, которая решается методами, опи-
санными в [2, 3]. Способ определения параметров a
i
описан-
ным выше образом называется методом наименьших квадра-
тов.