Основы вычислительной математики. Выпуск 7: Аппроксимация функций. Ширапов Д.Ш - 4 стр.

                                         –7–                                                                              –8–

                    2.1. Пример применения                                               х    0.75 1.5    2.25 3.0      3.75
     В качестве аппроксимирующей функции выберем квад-                                   у    2.5    1.2  1.12 2.25 4.28
ратный многочлен                                                                    Требуется найти многочлен второй степени вида (4), ко-
      ϕ(х)= a0 + a1х + a2х2 ,                        (4)                        торый даст наилучшее среднеквадратичное приближение таб-
в котором зависимость от неизвестных a0 , a1, a2 является ли-                   личной функции f(x).
нейной. Тогда формула (2) принимает вид                                             Решение. В этом примере m=2, n=4. Вычислим все
                          n
                                                                                члены матрицы в формуле (5) и правой части СЛАУ. Они та-
      S(a0 , a1 , a2)=   ∑ [a
                         i =0
                                0   + a 1 x i + a 2 x i2 − y i ] 2 .            ковы:
                                                                                      4
Откуда, вычисляя частные производные, получим
                   n
                                                                                     ∑x     i   = 0.75+1.50+2.25+3.00+3.75=11.25,
      ∂S/∂a0=2 ∑ [a 0 + a 1 x i + a 2 x i2 − y i ] =0,
                                                                                     i =0
                                                                                       4
                  i =0
                    n
                                                                                     ∑x     2
                                                                                            i   =0.752+1.502+2.252+3.002+3.752=30.94,
      ∂S/∂a1=2 ∑ [a 0 + a 1 x i + a 2 x i2 − y i ]x i =0,
                                                                                     i =0
                                                                                       4
                  i =0
                    n
                                                                                     ∑x     3
                                                                                            i   =0.753+1.503+2.253+3.003+3.753=94.92,
      ∂S/∂a2=2 ∑ [a 0 + a 1 x i + a 2 x i2 − y i ]x i2 =0.
                                                                                     i =0
                                                                                       4
                  i =0
Раскрыв скобки и проведя простейшие преобразования, полу-
                                                                                     ∑x
                                                                                     i =0
                                                                                            4
                                                                                            i   =0.754+1.504+2.254+3.004+3.754=309.76,

чим систему из трех линейных уравнений относительно трех                               4

неизвестных a0 , a1, a2:                                                             ∑y
                                                                                     i =0
                                                                                            i   = 2.5+1.2+1.12+2.25+4.28=11.35,
                                n                n             n

                            1∑ i            2∑ i             ∑
                                                                                       4                     4
        a  (n   +   1) + a          x   + a          x 2
                                                         =          yi
      0
                              i =0             i =0          i =0                   ∑ x i y i = 29.00,
                                                                                     i =0
                                                                                                           ∑x
                                                                                                            i =0
                                                                                                                   2
                                                                                                                   i   y i = 90.21.
           n               n                 n             n

      0∑ i          +   1∑ i         +   2∑ i         = ∑
                                    2                3
       a        x      a          x     a          x             x i yi . (5)        В результате система (5) примет вид
      n  i = 0           i =
                            n
                              0             i =
                                              n
                                                0         i =
                                                            n
                                                              0
                                                                                      5a 0 + 11.25a 1 + 30.94a 2 = 11.35,
     a                                                                              
      0∑            +   1∑ i         +   2∑ i         = ∑
                  2                 3                4
                x i    a          x     a          x             x i2 y i             11.25a 0 + 30.94a 1 + 94.92a 2 = 29.00,           (6)
      i =0               i =0              i =0          i =0
                                                                                     30.94a + 94.92a + 309.76a = 90.21.
                                                                                            0          1            2

Решая СЛАУ (5) найдем коэффициенты a0 , a1, a2 аппрокси-                             Решив СЛАУ (6), найдем, что a0=5.54 , a1=-4.73, a2=1.19.
мирующей функции (4).                                                           Таким образом, функция, аппроксимирующая наилучшим об-
                                                                                разом в среднеквадратичном смысле, такова
      Образец. Пусть функция у=f(x) задана таблично:                                 ϕ(х)=5.54-4.73х+1.19х2 .