ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
– 7 –
2.1. Пример применения
В качестве аппроксимирующей функции выберем квад-
ратный многочлен
ϕ(х)= a
0
+ a
1
х + a
2
х
2
, (4)
в котором зависимость от неизвестных a
0
, a
1
, a
2
является ли-
нейной. Тогда формула (2) принимает вид
S(a
0
, a
1
, a
2
)=
∑
=
−++
n
0i
2
i
2
i2i10
]yxa xa[a .
Откуда, вычисляя частные производные, получим
∂S/∂a
0
=2
∑
=
−++
n
0i
i
2
i2i10
]yxa xa[a =0,
∂S/∂a
1
=2
∑
=
−++
n
0i
ii
2
i2i10
]xyxa xa[a
=0,
∂S/∂a
2
=2
∑
=
−++
n
0i
2
ii
2
i2i10
]xyxa xa[a =0.
Раскрыв скобки и проведя простейшие преобразования, полу-
чим систему из трех линейных уравнений относительно трех
неизвестных a
0
, a
1
, a
2
:
=++
=++
=+++
∑∑∑∑
∑∑∑∑
∑∑∑
====
====
===
n
0i
n
0i
n
0i
i
2
i
4
i2
3
i1
n
0i
2
i0
n
0i
n
0i
n
0i
ii
3
i2
2
i1
n
0i
i0
n
0i
n
0i
n
0i
i
2
i2i10
yxxaxaxa
yxxaxaxa
yxaxa1)(na
. (5)
Решая СЛАУ (5) найдем коэффициенты a
0
, a
1
, a
2
аппрокси-
мирующей функции (4).
Образец. Пусть функция у=f(x) задана таблично:
– 8 –
х 0.75 1.5 2.25 3.0 3.75
у 2.5 1.2 1.12 2.25 4.28
Требуется найти многочлен второй степени вида (4), ко-
торый даст наилучшее среднеквадратичное приближение таб-
личной функции f(x).
Решение. В этом примере m=2, n=4. Вычислим все
члены матрицы в формуле (5) и правой части СЛАУ. Они та-
ковы:
∑
=
=
4
0i
i
x 0.75+1.50+2.25+3.00+3.75=11.25,
∑
=
4
0i
2
i
x =0.75
2
+1.50
2
+2.25
2
+3.00
2
+3.75
2
=30.94,
∑
=
4
0i
3
i
x
=0.75
3
+1.50
3
+2.25
3
+3.00
3
+3.75
3
=94.92,
∑
=
4
0i
4
i
x =0.75
4
+1.50
4
+2.25
4
+3.00
4
+3.75
4
=309.76,
∑
=
=
4
0i
i
y 2.5+1.2+1.12+2.25+4.28=11.35,
∑
=
=
4
0i
ii
yx
29.00,
∑
=
=
4
0i
i
2
i
yx
90.21.
В результате система (5) примет вид
=++
=++
=++
.21.90a76.309a92.94a94.30
,00.29a92.94a94.30a25.11
,35.11a94.30a25.11a5
210
210
210
(6)
Решив СЛАУ (6), найдем, что a
0
=5.54
, a
1
=-4.73, a
2
=1.19.
Таким образом, функция, аппроксимирующая наилучшим об-
разом в среднеквадратичном смысле, такова
ϕ(х)=5.54-4.73х+1.19х
2
.
–7– –8–
2.1. Пример применения х 0.75 1.5 2.25 3.0 3.75
В качестве аппроксимирующей функции выберем квад- у 2.5 1.2 1.12 2.25 4.28
ратный многочлен Требуется найти многочлен второй степени вида (4), ко-
ϕ(х)= a0 + a1х + a2х2 , (4) торый даст наилучшее среднеквадратичное приближение таб-
в котором зависимость от неизвестных a0 , a1, a2 является ли- личной функции f(x).
нейной. Тогда формула (2) принимает вид Решение. В этом примере m=2, n=4. Вычислим все
n
члены матрицы в формуле (5) и правой части СЛАУ. Они та-
S(a0 , a1 , a2)= ∑ [a
i =0
0 + a 1 x i + a 2 x i2 − y i ] 2 . ковы:
4
Откуда, вычисляя частные производные, получим
n
∑x i = 0.75+1.50+2.25+3.00+3.75=11.25,
∂S/∂a0=2 ∑ [a 0 + a 1 x i + a 2 x i2 − y i ] =0,
i =0
4
i =0
n
∑x 2
i =0.752+1.502+2.252+3.002+3.752=30.94,
∂S/∂a1=2 ∑ [a 0 + a 1 x i + a 2 x i2 − y i ]x i =0,
i =0
4
i =0
n
∑x 3
i =0.753+1.503+2.253+3.003+3.753=94.92,
∂S/∂a2=2 ∑ [a 0 + a 1 x i + a 2 x i2 − y i ]x i2 =0.
i =0
4
i =0
Раскрыв скобки и проведя простейшие преобразования, полу-
∑x
i =0
4
i =0.754+1.504+2.254+3.004+3.754=309.76,
чим систему из трех линейных уравнений относительно трех 4
неизвестных a0 , a1, a2: ∑y
i =0
i = 2.5+1.2+1.12+2.25+4.28=11.35,
n n n
1∑ i 2∑ i ∑
4 4
a (n + 1) + a x + a x 2
= yi
0
i =0 i =0 i =0 ∑ x i y i = 29.00,
i =0
∑x
i =0
2
i y i = 90.21.
n n n n
0∑ i + 1∑ i + 2∑ i = ∑
2 3
a x a x a x x i yi . (5) В результате система (5) примет вид
n i = 0 i =
n
0 i =
n
0 i =
n
0
5a 0 + 11.25a 1 + 30.94a 2 = 11.35,
a
0∑ + 1∑ i + 2∑ i = ∑
2 3 4
x i a x a x x i2 y i 11.25a 0 + 30.94a 1 + 94.92a 2 = 29.00, (6)
i =0 i =0 i =0 i =0
30.94a + 94.92a + 309.76a = 90.21.
0 1 2
Решая СЛАУ (5) найдем коэффициенты a0 , a1, a2 аппрокси- Решив СЛАУ (6), найдем, что a0=5.54 , a1=-4.73, a2=1.19.
мирующей функции (4). Таким образом, функция, аппроксимирующая наилучшим об-
разом в среднеквадратичном смысле, такова
Образец. Пусть функция у=f(x) задана таблично: ϕ(х)=5.54-4.73х+1.19х2 .
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 2
- 3
- 4
- 5
- 6
- …
- следующая ›
- последняя »
