Основы вычислительной математики. Выпуск 7: Аппроксимация функций. Ширапов Д.Ш - 4 стр.

UptoLike

Рубрика: 

– 7 –
2.1. Пример применения
В качестве аппроксимирующей функции выберем квад-
ратный многочлен
ϕ(х)= a
0
+ a
1
х + a
2
х
2
, (4)
в котором зависимость от неизвестных a
0
, a
1
, a
2
является ли-
нейной. Тогда формула (2) принимает вид
S(a
0
, a
1
, a
2
)=
=
++
n
0i
2
i
2
i2i10
]yxa xa[a .
Откуда, вычисляя частные производные, получим
S/a
0
=2
=
++
n
0i
i
2
i2i10
]yxa xa[a =0,
S/a
1
=2
=
++
n
0i
ii
2
i2i10
]xyxa xa[a
=0,
S/a
2
=2
=
++
n
0i
2
ii
2
i2i10
]xyxa xa[a =0.
Раскрыв скобки и проведя простейшие преобразования, полу-
чим систему из трех линейных уравнений относительно трех
неизвестных a
0
, a
1
, a
2
:
=++
=++
=+++
∑∑
∑∑
∑∑
====
====
===
n
0i
n
0i
n
0i
i
2
i
4
i2
3
i1
n
0i
2
i0
n
0i
n
0i
n
0i
ii
3
i2
2
i1
n
0i
i0
n
0i
n
0i
n
0i
i
2
i2i10
yxxaxaxa
yxxaxaxa
yxaxa1)(na
. (5)
Решая СЛАУ (5) найдем коэффициенты a
0
, a
1
, a
2
аппрокси-
мирующей функции (4).
Образец. Пусть функция у=f(x) задана таблично:
– 8 –
х 0.75 1.5 2.25 3.0 3.75
у 2.5 1.2 1.12 2.25 4.28
Требуется найти многочлен второй степени вида (4), ко-
торый даст наилучшее среднеквадратичное приближение таб-
личной функции f(x).
Решение. В этом примере m=2, n=4. Вычислим все
члены матрицы в формуле (5) и правой части СЛАУ. Они та-
ковы:
=
=
4
0i
i
x 0.75+1.50+2.25+3.00+3.75=11.25,
=
4
0i
2
i
x =0.75
2
+1.50
2
+2.25
2
+3.00
2
+3.75
2
=30.94,
=
4
0i
3
i
x
=0.75
3
+1.50
3
+2.25
3
+3.00
3
+3.75
3
=94.92,
=
4
0i
4
i
x =0.75
4
+1.50
4
+2.25
4
+3.00
4
+3.75
4
=309.76,
=
=
4
0i
i
y 2.5+1.2+1.12+2.25+4.28=11.35,
=
=
4
0i
ii
yx
29.00,
=
=
4
0i
i
2
i
yx
90.21.
В результате система (5) примет вид
=++
=++
=++
.21.90a76.309a92.94a94.30
,00.29a92.94a94.30a25.11
,35.11a94.30a25.11a5
210
210
210
(6)
Решив СЛАУ (6), найдем, что a
0
=5.54
, a
1
=-4.73, a
2
=1.19.
Таким образом, функция, аппроксимирующая наилучшим об-
разом в среднеквадратичном смысле, такова
ϕ(х)=5.54-4.73х+1.19х
2
.