Основы вычислительной математики. Выпуск 7: Аппроксимация функций. Ширапов Д.Ш - 5 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВСГУТУ | Улан-Удэ

Составители: 

Рубрика: 

– 9 –
Проведем оценку относительной погрешности аппроксима-
ции в заданных точках (в процентах) по формуле
∆y
i
= |δ
i
/y
i
|100% = | [ϕ(х
i
)-y
i
]/y
i
|100%. (7)
Результаты оценки приведены в таблице 1.
Таблица 1
х
i
y
i
ϕ(х
i
)
δ
i
∆y
i
, (%)
0.75 2.50 2.66 0.16 6.4
1.50 1.20 1.12 -0.08 6.7
2.25 1.12 0.92 -0.20 17.9
3.00 2.25 2.06 -0.19 8.4
3.75 4.28 4.54 0.26 6.1
2.2. Практические рекомендации
При решении практических задач аппроксимации следует
придерживаться следующих правил:
1.
Для выбора степени многочлена (1) можно начать с
многочлена 1-й степени ϕ(х, a
0
, a
1
)= a
0
х + a
1
. Опреде-
лив коэффициенты a
0
, a
1
методом наименьших квадра-
тов, вычисляют максимальную по модулю величину
относительной погрешности ∆y
i
|
m
по формуле (7). Ес-
ли она не превышает заданную точность ε, то за мно-
гочлен аппроксимации принимается ϕ(х)= a
0
х + a
1
. В
противном случае увеличивается степень m много-
члена на единицу, и расчет повторяется и т.д.
2.
По таблично заданной функции строится график этой
функции, что дает первичное представление о степени
m многочлена (1). Затем производится уточнение сте-
пени аппроксимирующего многочлена методом наи-
меньших квадратов.
– 10 –
2. 3. Задания для решения
Упражнения.
Методом наименьших квадратов аппроксимировать линей-
ным и квадратичным многочленами следующие табличные
функции и определить максимальную по модулю погреш-
ность аппроксимации:
1.
Ответ: ϕ
1
(х)=7.0514х – 0.4285; max(∆y
i
|
m=1
)=115.3% .
ϕ
2
(х)=0.9743х
2
+ 2.18х + 2.82; max(∆y
i
|
m=2
)=2.1% .
2.
3.
4.
5.
6.
х
i
0 1 2 3 4 5
y
i
4.2 8.8 16.3 24.6 36.5 48.4
х
i
0 1 2 3 4 5
y
i
2.8 6.1 10.9 18.1 27.3 38
х
i
0 1 2 3 4 5
y
i
1.9 5.2 9.8 17.3 25.7 37.5
х
i
0 1 2 3 4 5
y
i
1.1 3.9 9.2 16.8 25.3 35.7
х
i
0 1 2 3 4 5
y
i
3.2 7.8 15.3 23.6 35.5 47.4
х
i
0 1 2 3 4 5
y
i
1.1 4.9 11.2 18.8 29.3 40.7 
                            –9–                                                                – 10 –

Проведем оценку относительной погрешности аппроксима-                               2. 3. Задания для решения
ции в заданных точках (в процентах) по формуле                  Упражнения.
     ∆yi= |δi/yi|100% = | [ϕ(хi)-yi]/yi |100%. (7)              Методом наименьших квадратов аппроксимировать линей-
     Результаты оценки приведены в таблице 1.                   ным и квадратичным многочленами следующие табличные
                                                                функции и определить максимальную по модулю погреш-
                                    Таблица 1                   ность аппроксимации:
      хi     yi     ϕ(хi)   δi      ∆yi , (%)                   1.
      0.75   2.50   2.66    0.16       6.4                             хi   0     1      2         3    4        5
      1.50   1.20   1.12    -0.08     6.7                              yi   2.8   6.1    10.9      18.1 27.3     38
      2.25   1.12   0.92    -0.20     17.9
      3.00   2.25   2.06    -0.19     8.4                            Ответ: ϕ1(х)=7.0514х – 0.4285; max(∆yi|m=1)=115.3% .
      3.75   4.28   4.54    0.26       6.1                                  ϕ2(х)=0.9743х2 + 2.18х + 2.82; max(∆yi|m=2)=2.1% .
                                                                2.
                                                                       хi   0     1      2         3    4        5
            2.2. Практические рекомендации                             yi   4.2   8.8    16.3      24.6 36.5     48.4
При решении практических задач аппроксимации следует
придерживаться следующих правил:
   1. Для выбора степени многочлена (1) можно начать с          3.
                                                                       хi   0     1       2        3      4       5
      многочлена 1-й степени ϕ(х, a0 , a1)= a0х + a1. Опреде-          yi   1.9   5.2     9.8      17.3   25.7    37.5
      лив коэффициенты a0 , a1 методом наименьших квадра-
      тов, вычисляют максимальную по модулю величину
      относительной погрешности ∆yi|m по формуле (7). Ес-       4.
                                                                       хi   0      1     2         3    4        5
      ли она не превышает заданную точность ε, то за мно-              yi   1.1    3.9   9.2       16.8 25.3     35.7
      гочлен аппроксимации принимается ϕ(х)= a0х + a1. В
      противном случае увеличивается степень m много-           5.
      члена на единицу, и расчет повторяется и т.д.                    хi   0     1      2         3    4        5
   2. По таблично заданной функции строится график этой
                                                                       yi   3.2   7.8    15.3      23.6 35.5     47.4
      функции, что дает первичное представление о степени
      m многочлена (1). Затем производится уточнение сте-       6.
      пени аппроксимирующего многочлена методом наи-
                                                                       хi 0       1      2        3    4         5
      меньших квадратов.
                                                                       yi 1.1     4.9    11.2     18.8 29.3      40.7

Страницы