Основы вычислительной математики. Выпуск 7: Аппроксимация функций. Ширапов Д.Ш - 6 стр.

UptoLike

Рубрика: 

– 11 –
7.
8.
9.
10.
3. Равномерное приближение
Как следует из предыдущего §2, метод наименьших
квадратов позволяет для функции f(x), заданной таблично,
найти близкий в «среднем» многочлен ϕ(х). Однако значения
функций f(x) и аппроксимирующего многочлена ϕ(х) в не-
которых точках могут сильно различаться между собой.
В то же время в некоторых задачах, как практических,
так и теоретических, требуется, чтобы на всем отрезке [a, b],
на котором задана функция f(x), отклонение аппроксими-
рующего многочлена ϕ(х) от заданной функции было по аб-
солютной величине меньше, чем заданная точность ε>0, т.е.
выполнялось условие
|ϕ(х) - f(x)|< ε, xє[a, b]. (8)
При выполнении условия (8) говорят, что ϕ(х) равно-
мерно аппроксимирует функцию f(x) на отрезке [a, b].
– 12 –
Определение. Критерий близости функций при равно-
мерном приближении определяется величиной абсолютного
отклонения =
bxa
max
|ϕ(х) - f(x)| аппроксимирующего много-
члена
ϕ(х) от функции f(x).
Таким образом, равномерная аппроксимация f(x) мно-
гочленом
ϕ(х) с точностью ε означает, что < ε. В этом слу-
чае гарантированно выполняется
bxa
max
|ϕ(х) - f(x)|< ε при лю-
бых xє[a, b]. Возможность построения многочлена
ϕ(х), рав-
номерно приближающего функцию f(x), определяется теоре-
мой Вейерштрасса.
Теорема Вейерштрасса. Если функция f(x) непрерыв-
на на отрезке [a, b], то для любого ε>0 существует многочлен
ϕ(х), степень которого зависит от ε, абсолютное отклонение
которого от функции f(x) на отрезке [a, b] меньше ε.
Из теоремы Вейерштрасса следует, что при заданной
точности аппроксимации ε можно найти соответствующий
многочлен степени m, равномерно приближающий заданную
функцию f(x). Возможен и другой подход, при котором сте-
пень аппроксимирующего полинома m фиксирован и требу-
ется подобрать такой многочлен степени m, чтобы на задан-
ном на отрезке [a, b] величина абсолютного отклонения
была минимальна, то есть
=
min
. (9)
Такой многочлен
ϕ(х) называется многочленом наилуч-
шего равномерного приближения. Выполнение (9) осуществ-
ляется за счет подбора коэффициентов a
0
, a
1
, …, a
m
много-
члена (1). Можно показать, что для непрерывной и замкнутой
на ограниченном множестве функций f(x) такой многочлен
ϕ(х) существует и является единственным [4].
х
i
0 1 2 3 4 5
y
i
1.1 5.9 13.2 21.8 33.4 45.4
х
i
0 1 2 3 4 5
y
i
2.1 6.9 13.7 23.4 33.6 47.5
х
i
0 1 2 3 4 5
y
i
3.1 5.8 11.2 17.7 27.4 37.5
х
i
0 1 2 3 4 5
y
i
4.7 9.8 19.3 27.6 38.5 54.4