Основы вычислительной математики. Выпуск 7: Аппроксимация функций. Ширапов Д.Ш - 6 стр.

                           – 11 –                                                             – 12 –

7.                                                                   Определение. Критерий близости функций при равно-
       хi 0      1      2      3    4       5                   мерном приближении определяется величиной абсолютного
       yi 1.1    5.9    13.2   21.8 33.4    45.4                отклонения ∆= max |ϕ(х) - f(x)| аппроксимирующего много-
                                                                               a ≤ x ≤b

8.                                                              члена ϕ(х) от функции f(x).
       хi 0      1      2      3    4       5                        Таким образом, равномерная аппроксимация f(x) мно-
       yi 2.1    6.9    13.7   23.4 33.6    47.5                гочленом ϕ(х) с точностью ε означает, что ∆< ε. В этом слу-
                                                                чае гарантированно выполняется max |ϕ(х) - f(x)|< ε при лю-
                                                                                                       a ≤ x ≤b
9.
                                                                бых xє[a, b]. Возможность построения многочлена ϕ(х), рав-
       хi 0      1      2      3    4       5
                                                                номерно приближающего функцию f(x), определяется теоре-
       yi 3.1    5.8    11.2   17.7 27.4    37.5
                                                                мой Вейерштрасса.
10.
                                                                      Теорема Вейерштрасса. Если функция f(x) непрерыв-
       хi 0      1      2      3    4       5                   на на отрезке [a, b], то для любого ε>0 существует многочлен
       yi 4.7    9.8    19.3   27.6 38.5    54.4                ϕ(х), степень которого зависит от ε, абсолютное отклонение
                                                                которого от функции f(x) на отрезке [a, b] меньше ε.
                    3. Равномерное приближение
     Как следует из предыдущего §2, метод наименьших                 Из теоремы Вейерштрасса следует, что при заданной
квадратов позволяет для функции f(x), заданной таблично,        точности аппроксимации ε можно найти соответствующий
найти близкий в «среднем» многочлен ϕ(х). Однако значения       многочлен степени m, равномерно приближающий заданную
функций f(x) и аппроксимирующего многочлена ϕ(х) в не-          функцию f(x). Возможен и другой подход, при котором сте-
которых точках могут сильно различаться между собой.            пень аппроксимирующего полинома m фиксирован и требу-
     В то же время в некоторых задачах, как практических,       ется подобрать такой многочлен степени m, чтобы на задан-
так и теоретических, требуется, чтобы на всем отрезке [a, b],   ном на отрезке [a, b] величина абсолютного отклонения ∆
на котором задана функция f(x), отклонение аппроксими-          была минимальна, то есть
рующего многочлена ϕ(х) от заданной функции было по аб-              ∆= ∆min .                                      (9)
солютной величине меньше, чем заданная точность ε>0, т.е.            Такой многочлен ϕ(х) называется многочленом наилуч-
выполнялось условие                                             шего равномерного приближения. Выполнение (9) осуществ-
     |ϕ(х) - f(x)|< ε, xє[a, b].                   (8)          ляется за счет подбора коэффициентов a0 , a1 , …, am много-
     При выполнении условия (8) говорят, что ϕ(х) равно-        члена (1). Можно показать, что для непрерывной и замкнутой
мерно аппроксимирует функцию f(x) на отрезке [a, b].            на ограниченном множестве функций f(x) такой многочлен
                                                                ϕ(х) существует и является единственным [4].