Основы вычислительной математики. Выпуск 7: Аппроксимация функций. Ширапов Д.Ш - 7 стр.

                                          – 13 –                                                                 – 14 –

Формулу (9) можно записать в виде                                                                           3.2. Многочлены Чебышева
    ∆= min ( max |ϕ(х) - f(x)|).                                                       Многочлены Чебышева Tn(x) степени n выражаются фор-
             ϕ (x)   a ≤ x ≤b
                                                                                       мулой
Задачи такого типа называются минимаксными.                                                        1
                                                                                                    (          ) (           )
                                                                                            Tn(x)=  x + x 2 − 1 + x − x 2 − 1 ,
                                                                                                   2
                                                                                                                   n               n

                                                                                                                                     
                                                                                                                                          (12)
  3.1. Вычисление функций разложением в ряды Тейлора
      Для вычисления элементарных функций, таких как sinx,                                               (-1≤х≤1, n=0, 1, 2, …).
cosx, tgx, lnx и т.д., на компьютере можно воспользоваться                             Проведя, соответствующие вычисления с (12), можно полу-
рядом Тейлора, который на отрезке [a, b] имеет вид                                     чить
                                                          (n)                               T0(x)=1, T1(x)=х, T2(x)=2х2-1, T3(x)=4х3-3х,
             f ' (a)           f '' (a)                  f (a)                              T4(x)=8х4-8х2+1, T5(x)=16х5-20х3+5х,…
f(x)=f(a)+           (x − a) +          (x − a)2 + ... +       (x − a)n + R n , (10)                                                      (13)
               1!                 2!                       n!                          Что очень важно, многочлены Чебышева любой степени вы-
где х=а – базовая точка, относительно которой ищется раз-                              числяются с помощью рекуррентного соотношения
ложение. При а=0 выражение (10) называется рядом Макло-                                     Tn+1(x)=2хTn(x) – Tn-1(x), (n=1, 2, 3, …),
рена. Rn – остаточный член, определяющий погрешность раз-                              при этом коэффициент старшего члена выражается формулой
ложения (10) при ограничении (n+1) членом в разложении и                               аn=2n-1.
имеет вид                                                                                   Другим важным свойством многочленов Чебышева яв-
                      n +1
                b−a                                                                    ляется то, что они могут выражаться через элементарные три-
     max R n ≤             max f (n +1) .          (11)                                гонометрические функции
     a≤x≤b      (n + 1)! a ≤ x ≤ b
                                                                                            Tn(x)=cos(n·arccosx), (n=0, 1, 2, …).        (14)
                                                                                       Это означает, что разложение функции f(x) по многочленам
Зная значения функции f(x) и ее производных лишь в одной                               Tn(x) является другой интерпретацией разложения четной
базовой точке х=а , с помощью ряда (10) можно вычислить                                функции в ряд по косинусам, что позволяет переносить мно-
значение этой функции на всем отрезке [a, b], на котором                               гие свойства рядов Фурье в область степенных рядов. С по-
сходится этот ряд. Однако ряд Тейлора (10) обладает сле-                               мощью (14) можно получить выражения (12) и (13). Корни
дующим основным недостатком. Позволяя вычислить с очень                                многочлена Чебышева на отрезке [–1, 1] вычисляются по
высокой точностью значение f(x) вблизи базовой точки, в                                формуле
остальной части интервала точность будет гораздо меньше и
                                                                                                   2k − 1
для увеличения точности придется брать в ряде (10) очень                                    xk=cos        π , (k=0, 1, 2, …,n).
много членов. Поэтому, на практике, вместо (10) используют-                                           2n
ся более эффективные разложения, в частности, многочлены                               При этом корни расположены неравномерно на отрезке [-1, 1],
Чебышева [7]. В этом случае погрешность распределяется                                 сгущаясь к его концам. Точки экстремума многочленов Tn(x)
достаточно равномерно на всем отрезке [a, b], где вычисляет-                           вычисляются по формуле
ся функция f(x).                                                                                    kπ
                                                                                            xk=cos      , (k=1, 2, …,n-1),
                                                                                                     n