ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
– 13 –
Формулу (9) можно записать в виде
∆=
(x)
min
ϕ
(
bxa
max
≤≤
|ϕ(х) - f(x)|).
Задачи такого типа называются минимаксными.
3.1. Вычисление функций разложением в ряды Тейлора
Для вычисления элементарных функций, таких как sinx,
cosx, tgx, lnx и т.д., на компьютере можно воспользоваться
рядом Тейлора, который на отрезке [a, b] имеет вид
f(x)=f(a)+
n
R
n
a)(x
n!
(a)
(n)
f
...
2
a)(x
2!
(a)
''
f
a)(x
1!
(a)
'
f
+−++−+− ,
(10)
где х=а – базовая точка, относительно которой ищется раз-
ложение. При а=0 выражение (10) называется рядом Макло-
рена. R
n
– остаточный член, определяющий погрешность раз-
ложения (10) при ограничении (n+1) членом в разложении и
имеет вид
1)(n
bxa
1n
n
bxa
fmax
1)!n(
ab
Rmax
+
≤≤
+
≤≤
+
−
≤
. (11)
Зная значения функции f(x) и ее производных лишь в одной
базовой точке х=а , с помощью ряда (10) можно вычислить
значение этой функции на всем отрезке [a, b], на котором
сходится этот ряд. Однако ряд Тейлора (10) обладает сле-
дующим
основным недостатком. Позволяя вычислить с очень
высокой точностью значение f(x) вблизи базовой точки, в
остальной части интервала точность будет гораздо меньше и
для увеличения точности придется брать в ряде (10) очень
много членов. Поэтому, на практике, вместо (10) используют-
ся более эффективные разложения, в частности, многочлены
Чебышева [7]. В этом случае погрешность распределяется
достаточно равномерно на всем отрезке [a, b], где вычисляет-
ся функция f(x).
– 14 –
3.2. Многочлены Чебышева
Многочлены Чебышева T
n
(x) степени n выражаются фор-
мулой
T
n
(x)=
(
)
(
)
,1xx1xx
2
1
n
2
n
2
−−+−+
(12)
(-1≤х≤1, n=0, 1, 2, …).
Проведя, соответствующие вычисления с (12), можно полу-
чить
T
0
(x)=1, T
1
(x)=х, T
2
(x)=2х
2
-1, T
3
(x)=4х
3
-3х,
T
4
(x)=8х
4
-8х
2
+1, T
5
(x)=16х
5
-20х
3
+5х,… (13)
Что очень важно, многочлены Чебышева любой степени вы-
числяются с помощью рекуррентного соотношения
T
n+1
(x)=2хT
n
(x) – T
n-1
(x), (n=1, 2, 3, …),
при этом коэффициент старшего члена выражается формулой
а
n
=2
n-1
.
Другим важным свойством многочленов Чебышева яв-
ляется то, что они могут выражаться через элементарные три-
гонометрические функции
T
n
(x)=cos(n·arccosx), (n=0, 1, 2, …). (14)
Это означает, что разложение функции f(x) по многочленам
T
n
(x) является другой интерпретацией разложения четной
функции в ряд по косинусам, что позволяет переносить мно-
гие свойства рядов Фурье в область степенных рядов. С по-
мощью (14) можно получить выражения (12) и (13). Корни
многочлена Чебышева на отрезке [–1, 1] вычисляются по
формуле
x
k
=cos
π
n2
12k
−
, (k=0, 1, 2, …,n).
При этом корни расположены неравномерно на отрезке [-1, 1],
сгущаясь к его концам. Точки экстремума многочленов T
n
(x)
вычисляются по формуле
x
k
=cos
n
k
π
, (k=1, 2, …,n-1),
– 13 – – 14 –
Формулу (9) можно записать в виде 3.2. Многочлены Чебышева
∆= min ( max |ϕ(х) - f(x)|). Многочлены Чебышева Tn(x) степени n выражаются фор-
ϕ (x) a ≤ x ≤b
мулой
Задачи такого типа называются минимаксными. 1
( ) ( )
Tn(x)= x + x 2 − 1 + x − x 2 − 1 ,
2
n n
(12)
3.1. Вычисление функций разложением в ряды Тейлора
Для вычисления элементарных функций, таких как sinx, (-1≤х≤1, n=0, 1, 2, …).
cosx, tgx, lnx и т.д., на компьютере можно воспользоваться Проведя, соответствующие вычисления с (12), можно полу-
рядом Тейлора, который на отрезке [a, b] имеет вид чить
(n) T0(x)=1, T1(x)=х, T2(x)=2х2-1, T3(x)=4х3-3х,
f ' (a) f '' (a) f (a) T4(x)=8х4-8х2+1, T5(x)=16х5-20х3+5х,…
f(x)=f(a)+ (x − a) + (x − a)2 + ... + (x − a)n + R n , (10) (13)
1! 2! n! Что очень важно, многочлены Чебышева любой степени вы-
где х=а – базовая точка, относительно которой ищется раз- числяются с помощью рекуррентного соотношения
ложение. При а=0 выражение (10) называется рядом Макло- Tn+1(x)=2хTn(x) – Tn-1(x), (n=1, 2, 3, …),
рена. Rn – остаточный член, определяющий погрешность раз- при этом коэффициент старшего члена выражается формулой
ложения (10) при ограничении (n+1) членом в разложении и аn=2n-1.
имеет вид Другим важным свойством многочленов Чебышева яв-
n +1
b−a ляется то, что они могут выражаться через элементарные три-
max R n ≤ max f (n +1) . (11) гонометрические функции
a≤x≤b (n + 1)! a ≤ x ≤ b
Tn(x)=cos(n·arccosx), (n=0, 1, 2, …). (14)
Это означает, что разложение функции f(x) по многочленам
Зная значения функции f(x) и ее производных лишь в одной Tn(x) является другой интерпретацией разложения четной
базовой точке х=а , с помощью ряда (10) можно вычислить функции в ряд по косинусам, что позволяет переносить мно-
значение этой функции на всем отрезке [a, b], на котором гие свойства рядов Фурье в область степенных рядов. С по-
сходится этот ряд. Однако ряд Тейлора (10) обладает сле- мощью (14) можно получить выражения (12) и (13). Корни
дующим основным недостатком. Позволяя вычислить с очень многочлена Чебышева на отрезке [–1, 1] вычисляются по
высокой точностью значение f(x) вблизи базовой точки, в формуле
остальной части интервала точность будет гораздо меньше и
2k − 1
для увеличения точности придется брать в ряде (10) очень xk=cos π , (k=0, 1, 2, …,n).
много членов. Поэтому, на практике, вместо (10) используют- 2n
ся более эффективные разложения, в частности, многочлены При этом корни расположены неравномерно на отрезке [-1, 1],
Чебышева [7]. В этом случае погрешность распределяется сгущаясь к его концам. Точки экстремума многочленов Tn(x)
достаточно равномерно на всем отрезке [a, b], где вычисляет- вычисляются по формуле
ся функция f(x). kπ
xk=cos , (k=1, 2, …,n-1),
n
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 5
- 6
- 7
- 8
- 9
- …
- следующая ›
- последняя »
