ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
– 15 –
при этом в точках максимума T
n
(x)=1, а в точках минимума
T
n
(x)= –1. Это еще одно важное свойство, означающее, что
всегда выполняется условие
|T
n
(x)|≤1
при любых n и x, что удобно для проведения различных
оценок погрешностей при использовании многочленов Че-
бышева.
Рассмотрим многочлен Чебышева, полученный делени-
ем на коэффициент при старшем члене (при x
n
) а
n
=2
n-1
1-n
n
2
1
x)(T = T
n
(x).
Если наряду с многочленом
x)(T
n
рассмотреть любые
другие многочлены P
n
(x) степени n , у которых коэффици-
ент при старшем члене равен единице (как и у
x)(T
n
), тогда
можно показать, что у многочлена
x)(T
n
максимальное от-
клонение на отрезке [–1, 1] будет наименьшим по сравне-
нию с любым другим многочленом P
n
(x) [7]. Это означает,
что
1n
n
1x1-
n
1x1-
2
1
x)(Tmaxx)(Pmax
−
≤≤≤≤
=≥ . (15)
Поэтому говорят, что многочлены Чебышева
x)(T
n
яв-
ляются наименее уклоняющимися на отрезке [-1, 1]. Выраже-
ние (15) называется принципом минимакса. Это означает, что
для многочлена
x)(T
n
наибольшее значение на отрезке [-1, 1]
будет наименьшим по сравнению с наибольшими значениями
любых других многочленов P
n
(x).
Отметим основную разницу между среднеквадратичным
и равномерным (чебышевским) приближениями. Среднеквад-
ратичное приближение уменьшает среднюю квадратичную
ошибку, допуская большие ошибки в отдельных точках ин-
тервала. Чебышевское приближение уменьшает наибольшую
– 16 –
ошибку, допуская большое среднеквадратичное отклонение.
В заключение, приведем формулы для различных выра-
жений степеней х с помощью многочленов Чебышева, полу-
ченные из формулы (13), которые понадобятся при решении
упражнений. Они таковы
1= T
0
, х= T
1
, х
2
=( T
0
+T
1
)/2, х
3
=( 3T
1
+T
3
)/4,
х
4
=(3T
0
+4T
2
+T
4
)/8, х
5
=(10T
1
+5T
3
+T
5
)/16, … (16)
3.3. Экономизация степенных разложений
Одно из важных приложений многочленов Чебышева –
их использование для эффективного вычисления степенных
рядов, основанное на свойстве наилучшей сходимости этих
многочленов по сравнению с любыми другими многочленами.
Суть заключается в следующем. Одна и та же функция
f(x) может быть разложена в различные степенные ряды в
зависимости от способа их построения. Эти ряды описывают
одну и ту же функцию, но обладают различной скоростью
сходимости. Теоретически эти разложения равнозначны, так
как в пределе будет получена одна и та же функция. Но с
практической стороны, время вычисления функции на ком-
пьютере с одинаковой точностью с помощью этих рядов мо-
жет отличаться в десятки и сотни раз. Например, разложение
функции f(x) в конечный ряд Тейлора
f(x)=b
0
+b
1
x+b
2
x
2
+…+b
m
x
m
, (17)
как правило, имеет плохую сходимость почти всюду кроме
окрестности базовой точки. Напротив, разложения в ряд по
многочленам Чебышева
f(x)=с
0
+с
1
Т
1
(х)+с
2
Т
2
(х)+…+c
m
Т
m
(х) (18)
имеют наилучшую сходимость. Это означает, что погреш-
ность (18), при одинаковых членах в рядах (17) и (18), будет
наименьшей и равномерно распределенной на всем интерва-
ле.
– 15 – – 16 –
при этом в точках максимума Tn(x)=1, а в точках минимума ошибку, допуская большое среднеквадратичное отклонение.
Tn(x)= –1. Это еще одно важное свойство, означающее, что В заключение, приведем формулы для различных выра-
всегда выполняется условие жений степеней х с помощью многочленов Чебышева, полу-
|Tn(x)|≤1 ченные из формулы (13), которые понадобятся при решении
при любых n и x, что удобно для проведения различных упражнений. Они таковы
оценок погрешностей при использовании многочленов Че-
бышева. 1= T0, х= T1, х2=( T0+T1)/2, х3=( 3T1+T3)/4,
Рассмотрим многочлен Чебышева, полученный делени- х4=(3T0+4T2+T4)/8, х5=(10T1+5T3+T5)/16, … (16)
ем на коэффициент при старшем члене (при xn) аn=2n-1
1 3.3. Экономизация степенных разложений
T n ( x) = n -1 Tn(x). Одно из важных приложений многочленов Чебышева –
2
их использование для эффективного вычисления степенных
Если наряду с многочленом T n ( x) рассмотреть любые
рядов, основанное на свойстве наилучшей сходимости этих
другие многочлены Pn(x) степени n , у которых коэффици- многочленов по сравнению с любыми другими многочленами.
ент при старшем члене равен единице (как и у T n ( x) ), тогда Суть заключается в следующем. Одна и та же функция
можно показать, что у многочлена T n ( x) максимальное от- f(x) может быть разложена в различные степенные ряды в
клонение на отрезке [–1, 1] будет наименьшим по сравне- зависимости от способа их построения. Эти ряды описывают
нию с любым другим многочленом Pn(x) [7]. Это означает, одну и ту же функцию, но обладают различной скоростью
что сходимости. Теоретически эти разложения равнозначны, так
1 как в пределе будет получена одна и та же функция. Но с
max Pn ( x) ≥ max T n ( x) = n −1 . (15) практической стороны, время вычисления функции на ком-
-1≤ x ≤1 -1≤ x ≤1 2 пьютере с одинаковой точностью с помощью этих рядов мо-
Поэтому говорят, что многочлены Чебышева T n ( x) яв- жет отличаться в десятки и сотни раз. Например, разложение
ляются наименее уклоняющимися на отрезке [-1, 1]. Выраже- функции f(x) в конечный ряд Тейлора
ние (15) называется принципом минимакса. Это означает, что f(x)=b0+b1x+b2x2+…+bmxm , (17)
для многочлена T n ( x) наибольшее значение на отрезке [-1, 1] как правило, имеет плохую сходимость почти всюду кроме
будет наименьшим по сравнению с наибольшими значениями окрестности базовой точки. Напротив, разложения в ряд по
любых других многочленов Pn(x). многочленам Чебышева
Отметим основную разницу между среднеквадратичным f(x)=с0+с1Т1(х)+с2 Т2(х)+…+cm Тm(х) (18)
и равномерным (чебышевским) приближениями. Среднеквад- имеют наилучшую сходимость. Это означает, что погреш-
ратичное приближение уменьшает среднюю квадратичную ность (18), при одинаковых членах в рядах (17) и (18), будет
ошибку, допуская большие ошибки в отдельных точках ин- наименьшей и равномерно распределенной на всем интерва-
тервала. Чебышевское приближение уменьшает наибольшую ле.
