ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
– 17 –
Это дает возможность получить большую точность даже с
малым числом членов ряда.
3.4. Пример применения
Образец. Получить наиболее эффективное степенное разло-
жение для функции y=ln(1+x) на отрезке [0, 1] при заданной
точности вычисления ε ≈ 1/5.
Решение. Ряд Маклорена для этой функции имеет вид
y=ln(1+x)≈x-x
2
/2+x
3
/3-x
4
/4+x
5
/5+R
6
, (19)
где остаточный член R
6
оценивается формулой (11). Так как
ряд (19) знакопеременный, то погрешность замены бесконеч-
ного ряда конечным по модулю меньше первого отброшенно-
го члена
| R
6
|< x
6
/6≤1/6 (при 0≤х≤1). (20)
Заменив в (19) члены х
к
с помощью формул (16), получим
разложение
y=ln(1+x)≈Т
1
–(T
0
+T
1
)/4+(3T
1
+T
3
)/12–
–(3T
0
+4T
2
+T
4
)/32+(10T
1
+5T
3
+T
5
)/80=
=–11T
0
(x)/32+11T
1
(x)/8 –3T
2
(x)/8+ (21)
+7T
3
(x)/48–T
4
(x)/32+T
5
(x)/80.
Согласно (20) отбрасывание члена x
5
/5 в (19) даст ошибку
<1/5. Следовательно, для обеспечения требуемой точности
вместо ряда (19) можно взять ряд
y=ln(1+x)≈x-x
2
/2+x
3
/3-x
4
/4. (22)
Так как |T
n
(x)|≤1, то отбрасывание трех последних членов в
(21) даст ошибку не более чем (7/48+1/32+1/80)<1/5.2. Сле-
довательно, эти три члена в (21) также можно отбросить. То-
гда для обеспечения требуемой точности вместо ряда (21)
можно взять ряд
y=ln(1+x)≈ –11T
0
(x)/32+11T
1
(x)/8 –3T
2
(x)/8.
Откуда с использованием формул (16) получим
y=ln(1+x)≈ –11/32+11x/8–3(2x
2
-1)/8=1/32+11x/8–3x
2
/4. (23)
– 18 –
Из (22) и (23) следует, что для обеспечения требуемой точно-
сти ε ≈ 1/5 при вычислении функции y=ln(1+x) с использова-
нием разложения в ряд Тейлора требуется степень многочле-
на в два раза больше, чем при использовании ряда свернутого
с помощью многочленов Чебышева. Результаты вычислений
по (22) и (23) приведены в таблице 2.
Таблица 2
х Ряд
Тейлора
(25)
Свертка по
Чебышеву
(26)
Точное
значение
Ошибка
для (25)
Ошибка
для (26)
0 0 0.03125 0 0 0.03125
0.1 0.0953063 0.16125 0.0953102 0.0000039 0.065940
0.5 0.4010417 0.53125 0.4054651 0.0044234 0.125785
1 0.5833333 0.65625 0.6931472 0.1098139 0.036897
Из таблицы 2 видно, что ошибка в чебышевском при-
ближении распределена достаточно равномерно, в то время
как у ряда Тейлора ошибка растет с ростом х, т.е. с удалени-
ем от базовой точки х=0.
3.5. Задания для решения
Выполнить нижеследующие упражнения.
Упражнение 1. На интервале [0, 1] с шагом h=0.1, при за-
данной точности ε ≈0.01, вычислить значения функции y=е
х
разложением в ряд Маклорена и аппроксимацией равномер-
ным (чебышевским) приближением. Вычислить ошибки при-
ближения обоих методов в узловых точках.
Упражнение 2. На интервале [0, 1] с шагом h=0.1, при за-
данной точности ε ≈0.01, вычислить значения функции
y=sinx разложением в ряд Маклорена и аппроксимацией рав-
номерным приближением. Вычислить ошибки приближения
обоих методов в каждом узловых точках.
Упражнение 3. На интервале [0, 1] с шагом h=0.1, при за-
данной точности ε ≈0.01, вычислить значения функции
– 17 – – 18 –
Это дает возможность получить большую точность даже с Из (22) и (23) следует, что для обеспечения требуемой точно-
малым числом членов ряда. сти ε ≈ 1/5 при вычислении функции y=ln(1+x) с использова-
нием разложения в ряд Тейлора требуется степень многочле-
3.4. Пример применения на в два раза больше, чем при использовании ряда свернутого
Образец. Получить наиболее эффективное степенное разло- с помощью многочленов Чебышева. Результаты вычислений
жение для функции y=ln(1+x) на отрезке [0, 1] при заданной по (22) и (23) приведены в таблице 2.
точности вычисления ε ≈ 1/5. Таблица 2
Решение. Ряд Маклорена для этой функции имеет вид х Ряд Свертка по Точное Ошибка Ошибка
y=ln(1+x)≈x-x2/2+x3/3-x4/4+x5/5+R6 , (19) Тейлора Чебышеву значение для (25) для (26)
(25) (26)
где остаточный член R6 оценивается формулой (11). Так как 0 0 0.03125 0 0 0.03125
ряд (19) знакопеременный, то погрешность замены бесконеч- 0.1 0.0953063 0.16125 0.0953102 0.0000039 0.065940
ного ряда конечным по модулю меньше первого отброшенно- 0.5 0.4010417 0.53125 0.4054651 0.0044234 0.125785
го члена 1 0.5833333 0.65625 0.6931472 0.1098139 0.036897
| R6|< x6/6≤1/6 (при 0≤х≤1). (20) Из таблицы 2 видно, что ошибка в чебышевском при-
к
Заменив в (19) члены х с помощью формул (16), получим ближении распределена достаточно равномерно, в то время
разложение как у ряда Тейлора ошибка растет с ростом х, т.е. с удалени-
y=ln(1+x)≈Т1–(T0+T1)/4+(3T1+T3)/12– ем от базовой точки х=0.
–(3T0+4T2+T4)/32+(10T1+5T3+T5)/80=
=–11T0(x)/32+11T1(x)/8 –3T2(x)/8+ (21) 3.5. Задания для решения
+7T3(x)/48–T4(x)/32+T5(x)/80. Выполнить нижеследующие упражнения.
Согласно (20) отбрасывание члена x5/5 в (19) даст ошибку Упражнение 1. На интервале [0, 1] с шагом h=0.1, при за-
<1/5. Следовательно, для обеспечения требуемой точности данной точности ε ≈0.01, вычислить значения функции y=ех
вместо ряда (19) можно взять ряд разложением в ряд Маклорена и аппроксимацией равномер-
y=ln(1+x)≈x-x2/2+x3/3-x4/4. (22) ным (чебышевским) приближением. Вычислить ошибки при-
Так как |Tn(x)|≤1, то отбрасывание трех последних членов в ближения обоих методов в узловых точках.
(21) даст ошибку не более чем (7/48+1/32+1/80)<1/5.2. Сле- Упражнение 2. На интервале [0, 1] с шагом h=0.1, при за-
довательно, эти три члена в (21) также можно отбросить. То- данной точности ε ≈0.01, вычислить значения функции
гда для обеспечения требуемой точности вместо ряда (21) y=sinx разложением в ряд Маклорена и аппроксимацией рав-
можно взять ряд номерным приближением. Вычислить ошибки приближения
y=ln(1+x)≈ –11T0(x)/32+11T1(x)/8 –3T2(x)/8. обоих методов в каждом узловых точках.
Откуда с использованием формул (16) получим Упражнение 3. На интервале [0, 1] с шагом h=0.1, при за-
y=ln(1+x)≈ –11/32+11x/8–3(2x2-1)/8=1/32+11x/8–3x2/4. (23) данной точности ε ≈0.01, вычислить значения функции
