Основы вычислительной математики. Выпуск 7: Аппроксимация функций. Ширапов Д.Ш - 9 стр.

UptoLike

Рубрика: 

– 17 –
Это дает возможность получить большую точность даже с
малым числом членов ряда.
3.4. Пример применения
Образец. Получить наиболее эффективное степенное разло-
жение для функции y=ln(1+x) на отрезке [0, 1] при заданной
точности вычисления ε 1/5.
Решение. Ряд Маклорена для этой функции имеет вид
y=ln(1+x)x-x
2
/2+x
3
/3-x
4
/4+x
5
/5+R
6
, (19)
где остаточный член R
6
оценивается формулой (11). Так как
ряд (19) знакопеременный, то погрешность замены бесконеч-
ного ряда конечным по модулю меньше первого отброшенно-
го члена
| R
6
|< x
6
/61/6 (при 0≤х≤1). (20)
Заменив в (19) члены х
к
с помощью формул (16), получим
разложение
y=ln(1+x)≈Т
1
–(T
0
+T
1
)/4+(3T
1
+T
3
)/12–
–(3T
0
+4T
2
+T
4
)/32+(10T
1
+5T
3
+T
5
)/80=
=–11T
0
(x)/32+11T
1
(x)/8 –3T
2
(x)/8+ (21)
+7T
3
(x)/48–T
4
(x)/32+T
5
(x)/80.
Согласно (20) отбрасывание члена x
5
/5 в (19) даст ошибку
<1/5. Следовательно, для обеспечения требуемой точности
вместо ряда (19) можно взять ряд
y=ln(1+x)x-x
2
/2+x
3
/3-x
4
/4. (22)
Так как |T
n
(x)|1, то отбрасывание трех последних членов в
(21) даст ошибку не более чем (7/48+1/32+1/80)<1/5.2. Сле-
довательно, эти три члена в (21) также можно отбросить. То-
гда для обеспечения требуемой точности вместо ряда (21)
можно взять ряд
y=ln(1+x) –11T
0
(x)/32+11T
1
(x)/8 –3T
2
(x)/8.
Откуда с использованием формул (16) получим
y=ln(1+x) –11/32+11x/8–3(2x
2
-1)/8=1/32+11x/8–3x
2
/4. (23)
– 18 –
Из (22) и (23) следует, что для обеспечения требуемой точно-
сти ε 1/5 при вычислении функции y=ln(1+x) с использова-
нием разложения в ряд Тейлора требуется степень многочле-
на в два раза больше, чем при использовании ряда свернутого
с помощью многочленов Чебышева. Результаты вычислений
по (22) и (23) приведены в таблице 2.
Таблица 2
х Ряд
Тейлора
(25)
Свертка по
Чебышеву
(26)
Точное
значение
Ошибка
для (25)
Ошибка
для (26)
0 0 0.03125 0 0 0.03125
0.1 0.0953063 0.16125 0.0953102 0.0000039 0.065940
0.5 0.4010417 0.53125 0.4054651 0.0044234 0.125785
1 0.5833333 0.65625 0.6931472 0.1098139 0.036897
Из таблицы 2 видно, что ошибка в чебышевском при-
ближении распределена достаточно равномерно, в то время
как у ряда Тейлора ошибка растет с ростом х, т.е. с удалени-
ем от базовой точки х=0.
3.5. Задания для решения
Выполнить нижеследующие упражнения.
Упражнение 1. На интервале [0, 1] с шагом h=0.1, при за-
данной точности ε 0.01, вычислить значения функции y=е
х
разложением в ряд Маклорена и аппроксимацией равномер-
ным (чебышевским) приближением. Вычислить ошибки при-
ближения обоих методов в узловых точках.
Упражнение 2. На интервале [0, 1] с шагом h=0.1, при за-
данной точности ε 0.01, вычислить значения функции
y=sinx разложением в ряд Маклорена и аппроксимацией рав-
номерным приближением. Вычислить ошибки приближения
обоих методов в каждом узловых точках.
Упражнение 3. На интервале [0, 1] с шагом h=0.1, при за-
данной точности ε 0.01, вычислить значения функции