Курс лекций по математике для направления 020700 - Геология. Широкова Е.А - 166 стр.

     Для получения решения методом Рунге-Кутта вводим команду
load(dynamics); rk([z,2-x*z^2-3*x^2*y], [y,z], [1,0], [x,0,2,0.1]).

     Мы получим значения в узлах:
      [[0,1,0],[0.1,1.009973277486667,0.19889443755825],[0.2,1.03953179049664,
     0.39025908431976],[0.3,1.087443707860848,0.56407930484999],[0.4,1.1513554
76824082,
     0.70808296273707],[0.5,1.227625229955781,0.80905909503231],[0.6,1.3113210
0772257,
     0.85473889531278],[0.7,1.396404177611673,0.83546996450053],[0.8,1.4760334
30956961,
     0.74483368487679],[0.9,1.542855824183935,0.57873490276185],[1.0,1.5891289
45076604,
     0.33294944409803],[1.1,1.606518986789783,-9.8829227227875682*10^-4],[1.2,
     1.585353126452777,-0.44308261198787],[1.3,1.512758668789601,-
1.041803224981043],[1.4
     ,1.367721332806764,-1.927748829187044],[1.5,1.104119674291387,-
3.562685524381777],[
     1.6,0.55276102463945,-9.157645341403534],[1.7,-3.785389000081017,-
789.9052329768924],
     [1.8,-1.8741633219283803*10^14,-3.7934868677108632*10^30]].

    Это означает, что, например, y(0.5)= 1.227625229955781,
    z(0.5)= 0.80905909503231.


       3. Графический метод. Этим методом можно решать дифференциальные
уравнения первого порядка вида y  f ( x, y) . Если нам необходимо построить
интегральные кривые, которые являются графиками решений приведенного
уравнения, в какой-то части плоскости XOY , мы каждой точке ( x0 , y0 ) этой
области ставим в соответствие значение f ( x0 , y0 ) , которое совпадает с тангенсом
угла наклона касательной к интегральной кривой, проходящей через точку
( x0 , y0 ) . Зная точку и направление движения по кривой из этой точки, мы
переходим к близкой точке, в которой также определяем направление
движения,…. Так, двигаясь от точки к точке, мы построим соответствующую
интегральную кривую, то есть, решим задачу Коши y  f ( x, y), y( x0 )  y0 .

       Реальное построение решения таким методом было бы очень сложным без
применения компьютерной техники. MAXIMA содержит программу построения
графических решений. Если мы введем load(plotdf); plotdf(f(x,y),[y,c,d],[x,a,b]),
на экране появится прямоугольник [a,b]×[c,d] , в точках которого указаны
направления касательных к интегральным кривым, проходящим через эти точки.
Если щелкнуть курсором по выбранной точке на плоскости, компьютер нарисует
интегральную кривую, проходящую через соответствующую точку.
                                        166