Курс лекций по математике для направления 020700 - Геология. Широкова Е.А - 164 стр.

степеням ( x  x0 ) . Представим решение в виде
y( x)  c0  c1( x  x0 )  c2 ( x  x0 )2  ... . Из начальных условий и свойств
коэффициентов ряда Тейлора следует, что все коэффициенты разложения вплоть
до cn нам известны:
                                       y2                     y
      y( x)  y0  y1( x  x0 )          ( x  x0 )2  ...  n1 ( x  x0 )n1 
                                       2!                    (n 1)!
          F ( x0 , y0 ,..., yn1)
                                 ( x  x0 )n  cn1( x  x0 )n1  ...,
                    n!
    остальные – неизвестные – коэффициенты обозначаются буквами ck и
определяются сравнением коэффициентов при одинаковых степенях,
находящихся в обеих частях дифференциального уравнения.

    П р и м е р. Решить следующую задачу Коши: y  xy  y 2 ,
y(0)  0, y(0)  2 .
    Искать решение будем в виде ряда по степеням x . В соответствии с
                                                       1
начальными условиями y( x)  1 2 x  x2  c3 x3  c4 x4  ... .                    Подставим хотя
                                                       2
бы первые слагаемые рядов в уравнение:
      1 6c3 x 12c4 x2  20c5 x3  ...  x(2  x  3c3 x2  ...) 
                1                           1
      (1 2 x  x2  c3 x3  ...)(1 2 x  x2  c3 x3  ...).
                2                           2
     Перемножим входящие в правую часть сомножители:
     1 6c3 x 12c4 x2  20c5 x3  ...  2x  x2  3c3 x3  ...  (1 4x  3x2  (2c3  2) x3  ...)
А теперь сравним свободные члены (они равны) и коэффициенты при x , при x 2 и
                                                                     1        1           2
при x3 : 6c3  2, 12c4  4, 20c5  2c3  2 . Отсюда c3   , c4   , c5   .
                                                                     3        3          15
    Мы могли бы и далее сравнивать коэффициенты при степенях x в уравнении
и получать значения других коэффициентов ck . Тем более применение программ
MAXIMA упрощает этот процесс. В данном случае мы получили решение в виде
                                                                           1   1      1     2 5
ряда, первые члены которого известны: y( x)  1 2 x  x2  x3  x4                          x  ... .
                                                                           2   3      3    15

     Задачу Коши для системы уравнений можно решать подобным способом.

    2. Метод Эйлера и его модификации. Познакомимся с методом Эйлера
численного решения задачи Коши для дифференциального уравнения первого
порядка y  f ( x, y), y( x0 )  y0 . Предположим, что мы должны решить задачу на
отрезке [x0 , x0  b] . Разделим отрезок [x0 , x0  b] на n равных частей, равных  .
Заменим на каждом отрезке                [x0  k , x0  (k 1)]  [ xk , xk 1] , k  0,..., n 1,
решение         дифференциального              уравнения          линейной             функцией


                                                           164