Курс лекций по математике для направления 020700 - Геология. Широкова Е.А - 162 стр.

y( x) была решением                  неоднородного              уравнения,   остается   положить
C1 y1  C2 y2  f ( x) .


                                                                                             ex
     П р и м е р. Решить дифференциальное уравнение y  2 y  y                             .
                                                                                             x
Характеристическое уравнение для соответствующего однородного уравнения
имеет вид k 2  2k 1  0 . Следовательно, общее решение однородного уравнения
– функция y0 ( x)  C1ex  C2 xe x . Поэтому общее решение неоднородного
уравнение ищем в виде y( x)  C1( x)e x  C2 ( x) xe x . Для определения неизвестных
функций C1( x), C2 ( x) составим систему относительно их производных
               
               
                    C1e x  C2 xe x  0,
                                            ex
               C1e x  C2 ( xe x  e x )  .
                                            x

    Сокращая уравнения на e x , мы получим систему с главным определителем,
равным 1. Решая систему и интегрируя, получим C1( x)   x  C1,
     C2 ( x)  ln | x | C2 . Общее решение исходного уравнения запишется теперь в
виде y( x)  ex ( x  C1  x ln | x | C2 x) . Заметим, что в силу произвольности
константы C2 выражение  x  C2 x можно заменить выражением C2 x . Поэтому
решение можно записать в виде y( x)  ex (C1  x ln | x | C2 x) .



   Системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными
                        коэффициентами

     Системы уравнений вида
      y   a y ( x)  a y ( x)  ...  a y ( x)  f ( x),
      1       11 1         12 2                 1n n         1
      
      y2  a21 y1( x)  a22 y2 ( x)  ...  a2 n yn ( x)  f 2 ( x),
     
                           ....................
     
      yn  an1 y1( x)  an 2 y2 ( x)  ...  ann yn ( x)  f n ( x).
    называются системами линейных дифференциальных уравнений с
постоянными коэффициентами. Решение системы предполагает, что мы должны
найти n функций y1( x), y2 ( x),..., yn ( x) , удовлетворяющих уравнениям системы.

    Имеет смысл рассматривать только системы первого порядка, так как в
противном случае – например, если в уравнении системы встречается yj , следует
ввести в рассмотрение дополнительную функцию yn1( x)  yj , заменить в системе
                                                       162