Курс лекций по математике для направления 020700 - Геология. Широкова Е.А - 161 стр.

    Решение неоднородного уравнения. Мы уже знаем, как найти общее
решение однородного уравнения. Чтобы найти общее решение неоднородного
уравнения, нужно найти частное решение неоднородного уравнения и
прибавить к нему уже найденное общее решение соответствующего однородного
уравнения. Действительно, пусть y0 ( x) – общее решение однородного уравнения
y(n)  a1 y(n1)  a2 y(n2)  ...  an y  0 , содержащее n произвольных постоянных
C1,...Cn .      Если         y( x)        удовлетворяет      неоднородному         уравнению
y(n)  a1 y(n1)  a2 y(n2)  ...  an y  f ( x) , то функция y( x)  y0 ( x) удовлетворяет
тому же неоднородному уравнению и содержит произвольные постоянные
C1,..., Cn .
         Таким образом, вопрос о нахождении общего решения неоднородного
уравнения сводится к вопросу о нахождении частного решения неоднородного
уравнения. Существуют разные методы построения такого решения. Рассмотрим
метод вариации произвольной постоянной, который позволяет сразу получить
общее решение неоднородного уравнения.
         Суть этого метода в том, что, получив решение соответствующего
однородного уравнения в виде y0 ( x)  C1 y1( x)  ...  Cn yn ( x) , мы ищем общее
решение неоднородного уравнения в виде y( x)  C1( x) y1( x)  ...  Cn ( x) yn ( x) и
подбираем такие неизвестные функции C1( x),..., Cn ( x) , чтобы функция y( x)
удовлетворяла неоднородному уравнению. Оказывается, что для этого
достаточно, чтобы эти производные этих неизвестных функций удовлетворяли
системе
                             C1 ( x) y1( x)  ...  Cn ( x) yn ( x)  0,
                     
                            C1 ( x) y1 ( x)  ...  Cn ( x) yn ( x)  0,
                      
                             ........................................................  0,
                       
                      C1 ( x) y1
                                    ( n 1)
                                            ( x)  ...  Cn ( x) yn( n1) ( x)  f ( x).
      Докажем это для случая n  2 . Пусть необходимо решить уравнение
y  ay  by  f ( x) . Решение однородного  уравнения  имеет    вид
y0 ( x)  C1 y1( x)  C2 y2 ( x) , причем
                               y j  ay j  by j  0, j  1,2 . Возьмем общее
решение неоднородного уравнения в виде y( x)  C1( x) y1( x)  C2 ( x) y2 ( x) и
подставим в неоднородное уравнение. Мы получим:
     C1 y1  2C1 y1  C1 y1  C2 y2  2C2 y2  C2 y2  a(C1 y1  C1 y1 
      C2 y2  C2 y2 )  b(C1 y1  C2 y2 )  f ( x).
    Выражения, имеющие сомножителями C1 и C2 обращаются в ноль, поэтому
имеем:
     C1 y1  2C1 y1  C2 y2  2C2 y2  a(C1 y1  C2 y2 )  f ( x).
     Пусть C1 y1  C2 y2  0 . Взяв производные от обеих частей этого равенства,
получим C1 y1  C1 y1  C2 y2  C2 y2  0 . Поэтому для того, чтобы                   функция
                                                         161