Курс лекций по математике для направления 020700 - Геология. Широкова Е.А - 159 стр.

Коши с начальными данными y( x0 )  y0 , y( x0 )  y1,..., y(n1) ( x0 )  yn1 .
Действительно, такая задача сведется к поиску конкретных значений постоянных
C1,...Cn из системы линейных уравнений
                         C1 y1( x0 )  ...  Cn yn ( x0 )  y0 ,
                 
                                           ...............
                  
                  C1 y1
                         ( n 1)
                                 ( x0 )  ...  Cn yn(n1) ( x0 )  yn1.
     с ненулевым главным определителем системы

                                y1( x0 ) ..... yn ( x0 )
                                        ...............           .
                               y1(n1) ( x0 )... yn(n1) ( x0 )

     а) Простой вещественный корень. Простому вещественному корню k1
                                                                                                       kx
характеристического уравнения соответствует частное решение y1 ( x)  e 1 .

        П р и м е р. Решить однородное дифференциальное уравнение
 y  5 y  6 y  0 . Построим характеристическое уравнение k 3  5k 2  6k  0 . Это
характеристическое уравнение имеет три простых корня: k  0, k  2, k  3 .
Поэтому общим решение исходного дифференциального уравнение является
функция y( x)  C1  C2e2 x  C3e3x .
        б) Вещественный корень кратности                   m . Если корень k0
характеристического уравнения имеет кратность m , то, естественно, мы не
                                                                                       k x
можем использовать m                 одинаковых частных решений вида y( x)  e 0 ,
соответствующих этому корню, так как эти решения будут линейно зависимыми.
В указанном виде мы сможем взять только одно из m частных решений. Можно
показать, что все m частных решений, соответствующих данному корню
характеристического уравнения, имеют вид y j ( x)  x j 1e 0 , j  1,.., m , то есть
                                                                k x


функции    x j 1e 0 , j  1,.., m ,
                        k x
                                     удовлетворяют исходному однородному
дифференциальному уравнению. Заметим прежде всего, что если k0 – корень
уравнения k n  a1k n1  a2k n2  ...  an  0 кратности m , то k0 – корень любого из
уравнений (k n  a1k n1  a2k n2  ...  an )( j )  0, j  1,..., m 1.
                                                                                                (случай j  2 )
                                                                                         k0 x
     Покажем, как проводится доказательство того, что xe
                                                                                                 k x
удовлетворяет исходному однородному уравнению. Подставим xe 0 в левую
часть исходного однородного дифференциального уравнения и получим
      xek0 x k0n  nek0 x k0n1  a1[ xek0 x k0n1  (n 1)ek0 x k0n2 ]  ...  an1[ xek0 x k0  ek0 x ] 
      an xek0 x  xek0 x[k0n  a1k0n1  ...  an ]  ek0 x[nk0n1  (n 1)k0n2  ...  an1]  0.

                                                          159