Курс лекций по математике для направления 020700 - Геология. Широкова Е.А - 157 стр.

   1
y  e2 x  C1x  C2 . Таким образом, общее решение дифференциального второго
   4
порядка содержит уже две произвольные постоянные. Очевидно, что решая
подобное простейшее уравнение n -го порядка, мы получим n произвольных
постоянных. Следовательно, что для получения частного решения
дифференциального уравнения n -го порядка следует задавать n дополнительных
условий.

    1.Уравнение вида F ( x, y, y)  0 . В этом случае следует взять за неизвестную
функцию z( x)  y . Найдя z , мы определим y интегрированием.

      П р и м е р. Решить уравнение x2 y  y2 . Введем функцию z  y и решим
уравнение с разделяющимися переменными x2 z  z 2 . Получив его решение
       x                                           x 1
z          , найдем исходную функцию y : y( x)    2 ln |1 C1x | C2 .
     1 C1x                                        C1 C1
        Для выделения из множества решений единственного решения можно
задать условия: y( x0 )  y0 , y( x0 )  y1 . Например, y(1)  0, y(1)  2 .
                                                 1
      Из последнего условия мы получим C1  , то есть
                                                 2
y( x)  2x  4ln |1 x / 2| C2 .
    Из первого условия получим C2  2  4ln 2 . Теперь частное решение,
удовлетворяющее двум дополнительным условиям, имеет вид
     y( x)  2(1 x)  4ln | 2  x | .

    2. Уравнение вида F ( y, y, y)  0 . В этом случае целесообразно сделать
замену z( y)  y . Заметим, что переменной во введенной функции является не x –
                                                  dy dy dy
как в предыдущем случае, а y . Теперь y( x)            z  z . Уравнение
                                                  dx dy dx
становится дифференциальным уравнением первого порядка. Решив его, то есть,
найдя z( y) , мы получим y( x) как решение уравнения с разделяющимися
переменными y  z( y) .

    П р и м е р. Решить уравнение y  y2  2e y . Сделаем замену z( y)  y и
запишем уравнение в виде z  z( y)  z 2  2e y . Очевидно, что здесь целесообразна
еще одна замена: z 2 ( y)  p( y) . Уравнение принимает вид линейного уравнения
                      1
первого порядка:          p( y)  p( y)  2e y . Решаем сначала соответствующее
                      2
однородное ( p( y)  Ce2 y ), а затем ищем решение неоднородного уравнения в
виде p( y)  C( y)  e2 y . Подставляя в уравнение, получим C( y)  4e y , и значит,
 p( y)  4e y  C1e2 y . Следовательно, для определения функции y( x) мы имеем
                                           157