ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
156
соответствующего однородного уравнения
2
yy
x
. Это
2
()y x C x
. Теперь
подставим выражение
2
( ) ( )y x C x x
в линейное неоднородное уравнение. Мы
получим соотношение
2
2
2
6
()
a
C x x
x
, откуда
2
2
()
a
C x C
x
. Осталось
подставить выражение
()Cx
в представление
()yx
. В результате получим общее
решение
2
2
2
()
a
y x Cx
x
.
Уравнение Бернулли
К решению линейного уравнения сводится решение уравнения Бернулли
( ) ( )
n
y a x y b x y
, где
1n
. Действительно, если разделить обе части уравнения
на
n
y
, то становится очевидной необходимость замены
1
1
n
z
y
. Действительно,
уравнение принимает вид
( )(1 ) ( )(1 )z a x n z b x n
и оказывается линейным
уравнением. Решив его и найдя
()zx
, мы возвращаемся к функции
()yx
в
соответствии с приведенной формулой.
П р и м е р. Решить уравнение
53
20
x
xy y x y e
. Введем новую функцию
2
1
()
()
zx
yx
. Тогда исходное уравнение сводится к линейному уравнению
4
4
2
x
z
z x e
x
. Решая соответствующее однородное уравнение, получим
4
z Cx
,
следовательно, решение неоднородного линейного уравнения следует искать в
виде
4
()z C x x
. Подставив в уравнение, получим
( ) 2
x
C x e
или
( ) 2
x
C x e C
. В итоге, восстановив
()zx
и перейдя к
()yx
, получим общее
решение
2
44
1
()
2
x
yx
x e Cx
.
Понижение порядка дифференциального уравнения
До сих пор мы решали только дифференциальные уравнения первого
порядка. Существуют дифференциальные уравнения высших порядков, которые
сводятся к решению дифференциальных уравнений первого порядка. Простейший
пример:
2x
ye
. Очевидно, что для получения решения
()yx
достаточно дважды
проинтегрировать правую часть. Заметим, что при первом интегрировании мы
получаем постоянную интегрирования:
2
1
1
2
x
y e C
. При втором
интегрирование мы снова получаем постоянную интегрирования – уже другую:
2 . Это соответствующего однородного уравнения y y y( x) C x2 . Теперь x подставим выражение y( x) C( x) x2 в линейное неоднородное уравнение. Мы 6a2 2a2 получим соотношение C( x) x2 , откуда C ( x ) C . Осталось x2 x подставить выражение C ( x) в представление y( x) . В результате получим общее решение y( x) 2a2 Cx2 . x Уравнение Бернулли К решению линейного уравнения сводится решение уравнения Бернулли y a( x) y b( x) y n , где n 1 . Действительно, если разделить обе части уравнения 1 на y n , то становится очевидной необходимость замены z . Действительно, y n1 уравнение принимает вид z a( x)(1 n) z b( x)(1 n) и оказывается линейным уравнением. Решив его и найдя z( x) , мы возвращаемся к функции y( x) в соответствии с приведенной формулой. П р и м е р. Решить уравнение xy 2 y x5 y3e x 0 . Введем новую функцию 1 z ( x) 2 . Тогда исходное уравнение сводится к линейному уравнению y ( x) 4z z 2 x4e x . Решая соответствующее однородное уравнение, получим z Cx4 , x следовательно, решение неоднородного линейного уравнения следует искать в виде z C ( x) x4 . Подставив в уравнение, получим C( x) 2e x или C( x) 2ex C . В итоге, восстановив z( x) и перейдя к y( x) , получим общее 1 решение y 2 ( x) . 2 x e Cx4 4 x Понижение порядка дифференциального уравнения До сих пор мы решали только дифференциальные уравнения первого порядка. Существуют дифференциальные уравнения высших порядков, которые сводятся к решению дифференциальных уравнений первого порядка. Простейший пример: y e2x . Очевидно, что для получения решения y( x) достаточно дважды проинтегрировать правую часть. Заметим, что при первом интегрировании мы 1 получаем постоянную интегрирования: y e2 x C1 . При втором 2 интегрирование мы снова получаем постоянную интегрирования – уже другую: 156
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 154
- 155
- 156
- 157
- 158
- …
- следующая ›
- последняя »