Курс лекций по математике для направления 020700 - Геология. Широкова Е.А - 156 стр.

                                                    2 . Это
соответствующего однородного уравнения y            y     y( x)  C  x2 . Теперь
                                                    x
подставим выражение y( x)  C( x)  x2 в линейное неоднородное уравнение. Мы
                                  6a2                    2a2
получим соотношение C( x)  x2     , откуда C ( x )       C . Осталось
                                   x2                     x
подставить выражение C ( x) в представление y( x) . В результате получим общее
решение y( x) 
                2a2
                     Cx2 .
                 x


                                 Уравнение Бернулли

         К решению линейного уравнения сводится решение уравнения Бернулли
y  a( x) y  b( x) y n , где n  1 . Действительно, если разделить обе части уравнения
                                                              1
на y n , то становится очевидной необходимость замены                z . Действительно,
                                                            y n1
уравнение принимает вид z  a( x)(1 n) z  b( x)(1 n) и оказывается линейным
уравнением. Решив его и найдя z( x) , мы возвращаемся к функции y( x) в
соответствии с приведенной формулой.
    П р и м е р. Решить уравнение xy  2 y  x5 y3e x  0 . Введем новую функцию
             1
z ( x)     2
                  . Тогда исходное уравнение сводится к линейному уравнению
           y ( x)
       4z
z        2 x4e x . Решая соответствующее однородное уравнение, получим z  Cx4 ,
        x
следовательно, решение неоднородного линейного уравнения следует искать в
виде z  C ( x)  x4 . Подставив в уравнение, получим C( x)  2e x или
C( x)  2ex  C . В итоге, восстановив z( x) и перейдя к y( x) , получим общее
                          1
решение y 2 ( x)                .
                     2 x e  Cx4
                       4 x




                Понижение порядка дифференциального уравнения

      До сих пор мы решали только дифференциальные уравнения первого
порядка. Существуют дифференциальные уравнения высших порядков, которые
сводятся к решению дифференциальных уравнений первого порядка. Простейший
пример: y  e2x . Очевидно, что для получения решения y( x) достаточно дважды
проинтегрировать правую часть. Заметим, что при первом интегрировании мы
                                                         1
получаем         постоянную      интегрирования:     y  e2 x  C1 .     При     втором
                                                         2
интегрирование мы снова получаем постоянную интегрирования – уже другую:

                                          156