Курс лекций по математике для направления 020700 - Геология. Широкова Е.А - 154 стр.

                                 Cp
интегрирования имеем x               , и возвращаясь к старой функции по формуле
                                1 p2
y( x)  xp( x) , получим
      y  C( x2  y 2 ) . Общее решение, то есть, семейство кривых, мы построили.
Теперь нужно выбрать частное решение – ту кривую, которая проходит через
точку (2,1). Подставляя координаты точки в уравнение, получим 1  C(4 1) , то
         1                                                 ( x2  y 2 )
есть, C  . Таким образом, уравнение выбранной кривой: y               .
         5                                                      5


        Уравнение в полных дифференциалах и приводимое к нему

                                                                  M ( x, y)
         Уравнение первого порядка              y                        , очевидно, может быть
                                                                  N ( x, y)
записано в виде M ( x, y)dx  N ( x, y)dy  0 . Представим теперь, что M y  N x и эти
функции непрерывны. Это означает, что существует такая функция U ( x, y) , что
U x ( x, y)  M ( x, y), U y ( x, y)  N ( x, y) .                   Действительно,         ведь
    ( x, y)  U yx ( x, y)  M y ( x, y)  N x ( x, y) . Итак, уравнение теперь имеет вид
U xy
U x dx U y dy  0 или dU ( x, y)  0 . Следовательно, решение исходного уравнения
– множество неявно заданных функций U ( x, y)  C .
        П р и м е р. Решить уравнение 2xydx  ( x2  y 2 )dy  0 . Мы видим, что
условие M y  N x выполняется. Перегруппировывая слагаемые в виде
(2xydx  x2dy)  y 2dy  0 , можно заметить, что первая скобка – это d ( x2 y) .
Следовательно, уравнение можно переписать в виде d ( x2 y  y3 / 3)  0 .
Следовательно, решением является неявно заданная функция x2 y  y3 / 3  C .

       Иногда удается найти для произвольного дифференциального уравнения
вида M ( x, y)dx  N ( x, y)dy  0 такую функцию  ( x, y) , что умножив обе части
уравнения на эту функцию, мы превращаем его в уравнение в полных
дифференциалах, так как ( M )y  ( N )x . Такой сомножитель называется
интегрирующим множителем.
    П р и м е р. Решить уравнение ( x2  y 2  x)dx  ydy  0 . Сгруппируем члены
уравнения следующим образом: ( x2  y 2 )dx  ( xdx  ydy)  0 . Мы видим, что
вторая скобка представляет собой d ( x2  y 2 ) / 2 . Разделим обе части уравнение на
                        d ( x2  y 2 )                 ln( x2  y 2 )
первую скобку: dx                      0 или d ( x                 )  0 . Отсюда
                        2( x2  y 2 )                        2



                                               154