Курс лекций по математике для направления 020700 - Геология. Широкова Е.А - 153 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

153
Однородное дифференциальное уравнение первого порядка
Так называют уравнение вида
y
yF
x



. Для решения такого уравнения
целесообразно ввести новую функцию
()
()
yx
px
x
. Тогда
( ) ( )y x xp x
и
( ) ( )y p x xp x

. Подставляя в исходное уравнение, получим
( ) ( ) ( ( ))p x xp x F p x
или
()
()
F p p
px
x
. Последнее уравнение – это
уравнение с разделяющимися переменными. Решив его и найдя
()px
, мы найдем
и
( ) ( )y x xp x
.
П р и м е р. Найти кривые, у которых точка пересечения любой касательной с
осью абсцисс одинаково удалена от точки касания и от начала координат.
Выбрать среди кривых ту, которая проходит через точку (2,1).
Решение. В соответствии с геометрическим условием
.
Упрощая, получим
22
2xy
y
xy
. Это однородное дифференциальное уравнение
первого порядка. Вводя функцию
()px
, придем к уравнению с разделяющимися
переменными
2
2
(1 )
1
pp
xp
p
. Разделив переменные, получим равенство
дифференциалов
2
2
(1 )
(1 )
p dp
dx
x
pp
. Левая дробь раскладывается на простейшие
дроби следующим образом:
2
22
(1 ) 2
1
(1 ) (1 )
pp
p
p p p

. В результате после 
      Однородное дифференциальное уравнение первого порядка

                                            y
    Так называют уравнение вида y  F   . Для решения такого уравнения
                                        x    
                                       y ( x)
целесообразно ввести новую функцию             p( x) . Тогда y( x)  xp( x) и
                                         x
y  p( x)  xp( x) . Подставляя в исходное уравнение, получим
                                           F ( p)  p
 p( x)  xp( x)  F ( p( x)) или p( x)             . Последнее уравнение – это
                                                x
уравнение с разделяющимися переменными. Решив его и найдя p( x) , мы найдем
и y( x)  xp( x) .

    П р и м е р. Найти кривые, у которых точка пересечения любой касательной с
осью абсцисс одинаково удалена от точки касания и от начала координат.
Выбрать среди кривых ту, которая проходит через точку (2,1).




                                                                   y 2     y
    Решение. В соответствии с геометрическим условием ( x            )  ( )2  y 2 .
                                                                   y      y
                          2xy
Упрощая, получим y             . Это однородное дифференциальное уравнение
                        x  y2
                         2

первого порядка. Вводя функцию p( x) , придем к уравнению с разделяющимися
                    p(1 p2 )
переменными xp              . Разделив переменные, получим равенство
                     1 p2
                 (1 p2 )dp dx
дифференциалов               . Левая дробь раскладывается на простейшие
                  p(1 p 2 ) x
                              (1 p2 ) 1       2p
дроби следующим образом:                          . В результате после
                              p(1 p ) p (1 p2 )
                                     2


                                       153

Страницы