Курс лекций по математике для направления 020700 - Геология. Широкова Е.А - 151 стр.

находятся с точностью до произвольных постоянных. Любую функцию,
удовлетворяющую дифференциальному уравнению, мы будем называть частным
решением этого уравнения, совокупность частных решений назовем общим
решением дифференциального уравнения.
      Порядок дифференциального уравнения определяется наивысшим порядком
входящих в него производных. Поэтому дифференциальное уравнение вида
F ( x, y( x), y, y,..., y(n) )  0 считается дифференциальным уравнением n -го
порядка.
      Так же, как не любая функция может быть проинтегрирована, и представлена
в виде элементарных функций, так и не любое дифференциальное уравнение
имеет решение, выражающееся через элементарные функции. Класс
дифференциальных уравнений, интегрируемых в квадратурах, узок. Мы изучим
несколько классов дифференциальных уравнений, интегрируемых в квадратурах,
а     также        рассмотрим          некоторые  приближенные   методы   решения
дифференциальных уравнений. Кроме того, мы рассмотрим некоторые задачи,
связанные с применением дифференциальных уравнений.


  Дифференциальное уравнение первого порядка с разделяющимися
                         переменными

       Так называются уравнения вида y  f ( x)  g ( y) . Запишем производную в
                                   dy
виде отношения дифференциалов:         f ( x)  g ( y) и разнесем в разные части
                                   dx
выражения, содержащие x и y . Мы получим равенство двух дифференциалов:
 dy
        f ( x)  dx . После интегрирования правой части по x , а левой – по y мы
g ( y)
получим слева функцию, зависящую от y , а справа – функцию, зависящую от x ,
                                     dy
отличающихся на константу: 
                                    g ( y) 
                                           f ( x)  dx  C .

    П р и м е р. В соответствии с законом радиоактивного распада вещества
скорость распада пропорциональна количеству нераспавшегося вещества. Если
обозначить m(t ) массу нераспавшегося вещества в момент t , то этот закон можно
записать в виде соотношения: m(t )    m . Знак минус указывает на то, что
масса вещества убывает с ростом t .
                                      dm
    Решение. Разделим переменные:           dt . После интегрирования
                                       m
получим ln m    t  ln C . Здесь произвольное постоянное слагаемое мы
представили в виде логарифма положительной постоянной величины для
удобства последующего потенцирования: m(t )  Ce t .



                                        151