Курс лекций по математике для направления 020700 - Геология. Широкова Е.А - 168 стр.

       Мы знаем, что в случае обыкновенных дифференциальных уравнений
порядок уравнения определяет количество произвольных постоянных, входящих
в решение.
       В отличие от обыкновенных дифференциальных уравнений уравнения в
частных производных имеют решения, содержащие не произвольные постоянные,
а произвольные функции. Например, решением дифференциального уравнения
первого порядка ux  uy является u( x, y)  f ( x  y) , где f (t ) – произвольная
дифференцируемая функция одной переменной.
       Рассмотрим в качестве следующего примера дифференциальное
уравнение в частных производных второго порядка uxy  x  y . Последовательно
                                          xy 2
восстановим искомую функцию: ux               f ( x) , где f ( x) – произвольная
                                           2
функция переменной x. Теперь
                       x2 y 2                         x2 y 2
              u( x, y)         f ( x)dx  g ( y)          f1( x)  g ( y) ,
                         4                              4
    где    f1( x) и g ( y) – произвольные дифференцируемые функции своих
аргументов.
        Таким образом, решение последнего дифференциального уравнения в
частных производных зависит от двух произвольных функций.
        Для получения единственного решения недостаточно задавать значение
искомой функции или ее производных в отдельных точках. Необходимо задавать
решение на некоторых множествах точек. Так, например, чтобы получить
единственное решение уравнения Лапласа uxx  uyy  0 в некоторой конечной
односвязной области, достаточно задать значения искомой функции u( x, y) на
границе этой области. Задача получения решения уравнения Лапласа,
удовлетворяющего заданным граничным значениям, называется задачей Дирихле.

       Дифференциальные уравнения в частных производных второго порядка
имеют широкие приложения во многих областях физики. Решения этих
уравнений сложны, и в большинстве случаев они решаются только приближенно
численными методами. Методы решения таких уравнений изучаются в курсе
«Уравнения математической физики».




                                        168