Курс лекций по математике для направления 020700 - Геология. Широкова Е.А - 155 стр.

x  ln( x2  y 2 )1/ 2  C . Здесь интегрирующим множителем явилась функция
       1
                 .
(x  y2 )
   2




              Линейное дифференциальное уравнение первого порядка

       Так называется дифференциальное уравнение вида y  a( x) y  b( x) . Здесь
сама функция и ее производная связаны линейно. Решать уравнение будем
методом вариации произвольной постоянной. Для этого сначала решим
соответствующее уравнение с нулевым свободным членом, называемое
линейным однородным уравнением: y  a( x) y . Это уравнение является
уравнением с разделяющимися переменными и имеет решение y  C  e
                                                                                                                                a ( x ) dx
                                                                                                                                             .
Теперь мы будем искать решение исходного неоднородного уравнения в виде
           y  C ( x)  e
                              a ( x ) dx
                                   . Найдем неизвестный множитель C ( x) , подставив y в
указанном                     виде     в     заданное    уравнение.      Мы       получим
C( x)  e                 C ( x)  a( x)e                C( x)  a( x)e
               a ( x) dx                        a ( x) dx                           a ( x) dx
                                                                                                 b( x) .
       После взаимного уничтожения одинаковых слагаемых в левой и правой
частях придем к соотношению C( x)  e
                                                                       a ( x ) dx
                                              b( x) . Отсюда мы найдем C( x) , а
затем и C ( x) с точностью до произвольного постоянного слагаемого

    П р и м е р. Найти кривые, у которых площадь трапеции, ограниченной
осями координат, касательной и ординатой точки касания, есть величина
постоянная, равная 3a 2 .




    Решение. Высота трапеции равна абсциссе точки касания x . Большее
основание трапеции отличается от меньшего, равного y , на величину  x  y .
                                                                                                   2 y  xy
Выражая площадь трапеции, получим соотношение                                                                x  3a2 , откуда
                                                                                                       2
                                                               2    6a2
выведем линейное уравнение y                                   y  2 . Найдем сначала решение
                                                               x     x

                                                                     155