Курс лекций по математике для направления 020700 - Геология. Широкова Е.А - 158 стр.

          dy
уравнения      4e y  C1e2 y . Это уравнения с разделяющимися уравнениями,
          dx
                                                                   e y dy
и мы должны восстановить первообразные по дифференциалам:                   dx .
                                                                  4e y  C1
В результате получим общее решение:  4e y  C1  2x  C2 .

         Для того, чтобы найти частное решение, то есть, определить значения
C1 и C2 , недостаточно одного начального условия при решении задачи Коши. В
случае дифференциального уравнения второго порядка задача Коши имеет два
начальных условия: y( x0 )  y0 и y( x0 )  y1 .
     Для данного примера зададим следующие начальные условия:
 y(0)  0, y(0)  0 . Тогда получим C1 =-4, C2  0 . И решение примет вид
 e y 1  x или y( x)  ln(1 x2 ) .


          Линейные дифференциальные уравнения с постоянными
                          коэффициентами

     Это уравнения, имеющие вид y(n)  a1 y(n1)  a2 y(n2)  ...  an y  f ( x) ,
     где a1, a2 ,..., an – постоянные коэффициенты.
     Однородным линейным уравнением n -го порядка называются уравнения
вида y(n)  a1 y(n1)  a2 y(n2)  ...  an y  0 .
     Решение однородного уравнения. Искать частное решение однородного
уравнения будем в виде y( x)  ekx . Подставив y( x) в указанном виде в
однородное          уравнение,           получим            (k n  a1k n1  a2k n2  ...  an )ekx  0 .
Следовательно, неизвестное значение сомножителя k мы найдем, если решим
алгебраическое уравнение n -й степени
                        k n  a1k n1  a2k n2  ...  an  0 ,
     называемое характеристическим уравнением.
     В соответствии с основной теоремой алгебры характеристическое уравнение
имеет ровно n корней, считая все вещественные и комплексные корни с учетом
их кратности.
     Легко заметить, что если y1( x) и y2 ( x) – два линейно-независимых частных
решения однородного уравнения, то y( x)  C1 y1( x)  C2 y2 ( x) также
удовлетворяет тому же однородному уравнению при любых C1 и C2 .
     Рассмотрим все случаи корней характеристического уравнения и определим
вид частного решения так, чтобы все частные решения были линейно-
независимыми. Получив n линейно-независимых частных решений, мы сможем
построить общее решение однородного уравнения y( x)  C1 y1( x)  ...  Cn yn ( x) ,
содержащее n произвольных постоянных и позволяющее решать любую задачу
                                                   158