Курс лекций по математике для направления 020700 - Геология. Широкова Е.А - 160 стр.

    Первое выражение в квадратных скобках обращается в ноль, так как k0 –
корень характеристического уравнения, второе выражение в квадратных скобках
обращается     в     ноль,     так     как     k0 –    корень     уравнения
(k n  a1k n1  a2k n2  ...  an )  0 . Подобным же образом можно показать, что
функции    x j 1e 0 , j  3,.., m ,
                   k x
                                       удовлетворяют     исходному       однородному
дифференциальному уравнению.

      П р и м е р. Решить однородное дифференциальное уравнение
 y  2 y(5)  y(4)  0 . Характеристическое уравнение имеет вид k 6  2k 5  k 4  0 , и
 (6)


следовательно, имеет корни 0 (кратности четыре) и 1 (кратности два). Поэтому
общим решением исходного дифференциального уравнения является функция
 y( x)  C1  C2 x  C3 x2  C4 x3  e x (C5  C6 x) .

    в) Простой комплексный корень. При решении алгебраического уравнения
с вещественными коэффициентами наличие комплексного корня   i
обеспечивает наличие комплексно сопряженного корня   i . Поэтому можно
было бы в качестве частных решений, соответствующих этой паре корней, взять
функции e( i ) x и e( i ) x . Однако для того, чтобы не привлекать комплексные
числа для решения дифференциальных уравнений с вещественными
коэффициентами, на основании формулы Эйлера ei x  cos  x  i sin  x , в
качестве частных решений берут функции e x cos  x и e x sin  x .

    П р и м е р. Решить дифференциальное уравнение y(4)  4 y  0 .
Характеристическим уравнением является уравнение k 4  4k 2  0 . Корнями этого
уравнения являются k  0 (кратности 2) и комплексные корни i 2 . Поэтому
общее решение имеет вид y( x)  C1  C2 x  C3 cos2x  C4 sin 2x .

        г) Комплексные корни кратности m . В случае, когда характеристическое
уравнение имеет два комплексно сопряженных корня   i кратности m ,
соответствующие этим корням частные решения соответствующего однородного
дифференциального уравнения имеют вид x j 1e x cos  x, j  1,.., m , и
 x j 1e x sin  x, j  1,.., m .
        П р и м е р. Решить дифференциальное уравнение
 y  4 y 14 y  20 y  25 y  0 . Характеристическое уравнение можно
  (4)

представить в виде (k 2  2k  5)2  0 , следовательно, корнями
характеристического уравнения являются 1 2i (кратности 2) и 1 2i
(кратности 2). Поэтому общим решение заданного однородного
дифференциального уравнения будет функция
 y( x)  e x (C1 cos2x  C2 x cos2x  C3 sin 2x  C4 x sin 2x) .


                                          160