Курс лекций по математике для направления 020700 - Геология. Широкова Е.А - 163 стр.

yj на yn 1 и добавить к имеющимся уравнениям системы дополнительное:
yj  yn1( x) .
    Подобным образом любое линейное уравнение с постоянными
коэффициентами n-го порядка сводится к системе из n линейных уравнений.

    Обратное также возможно: решение системы линейных уравнений нетрудно
свести к решению линейного уравнения высокого порядка. Покажем, как это
делается для случая n  2 . Пусть нам нужно решить систему
        
        y1  ay1( x)  by2 ( x)     f1 ( x),
       
        y2  cy1( x)  dy2 ( x)    f 2 ( x).
       
    Продифференцируем первое уравнение и выразим в полученной правой
части y2 ( x) через правую часть второго уравнения. Мы получим
     y1  ay1  b(cy1  dy2  f 2 )  f1 . А теперь входящую в полученную правую
часть функцию by2 ( x) заменим ее выражением из первого уравнения исходной
системы: by2  y1  ay1  f1 . Мы получили линейное однородное
дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами
относительно функции y1( x) :
                         y1  (a  b) y1  (bc  ad ) y1  df1  bf 2  f 1 0 .
    Мы знаем, что решение этого уравнения представляет собой линейную
комбинацию частных решений, которые строятся с помощью корней
характеристического уравнения, плюс частное решение неоднородного
уравнения. Таким образом, решения линейных систем также будут содержать
линейные комбинации функций вида
                xm  ekx , xm  e x  cos  x, xm  e x  sin  x .


         Приближенное решение дифференциальных уравнений.

       Класс уравнений, для которых можно получить точное решение, то есть,
аналитическую функцию, удовлетворяющую заданному дифференциальному
уравнению и всем дополнительным условиям (задача Коши или краевая задача),
очень узок. Чаще всего дифференциальные уравнения решаются приближенно.

      1. Приближение решения с помощью степенного ряда. Представим, что
мы должны решить задачу Коши для дифференциального уравнения n -го
порядка y(n)  F ( x, y, y,..., y(n1) ) с начальным условием
y( x0 )  y0 , y( x0 )  y1,..., y(n1) ( x0 )  yn1 . Если функция F в правой части
уравнения разлагается в ряды по всем своим переменным, удобно искать решение
дифференциального уравнения в окрестности точки x  x0 в виде ряда Тейлора по
                                                  163