Теория измерений: уравнения, модели, оценивание точности. Шлыков Г.П. - 20 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГУ | Пенза

Составители: 

Рубрика: 

20
Обозначим
v
u
x
x
=
+
−
0,5
0,5
, где Åõ
ÃÄ
∆0,5δ
+
=
.
Как известно формула Тейлора имеет вид:
() ()
...
!2
)0(
!1
)0(
0
2
///
+++= x
f
x
f
fxf
Согласно справочнику по математике для дроби вида u/v
первая производная
2
/
v
vuuv
v
u
//
⋅−⋅
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
.
Тогда
(
)
()
2
/
0,5
)1)(0,5()1(0,5
)(
x
xx
xf
+
−
−
−
+
=
и
()
4
0,5
1
0
2
/
−=
−
=f .
()
() ()
()
4
/
2
//
0,5
12100,5
)0,5(
1
x
xx
x
xf
2
+
+⋅+⋅+
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+
−
=
и
()
16
0,0025
1
0
//
==f
.
Следовательно, выражение в квадратных скобках преоб-
разуемого уравнения пример вид:
()()
.../0,5δ
2!
16
/0,5δ41
2
ÃÄÃÄ
+∆++∆+− EE
Отбрасывая малые второго и высших порядков и учиты-
вая, что погрешности заданы в виде пределов допускаемых зна-
чений, получим
()
[]
E
R
N
R
x
x
/42δ1
δ11
ÃÄ
ì
∆++
+
= .
Перенесем
()
ì
δ1+
из знаменателя в числитель. Это до-
пустимо, учитывая, что
1δ
ì
<
< , а также то, что погрешность
ì
δ предельная (
±
). Из математики известно, что
()
xx m11/1 ≈±
. Тогда 
                       0,5 − x u
       Обозначим              = , где õ = 0,5δ Ä + ∆ Ã Å .
                       0,5 + x v
       Как известно формула Тейлора имеет вид:
                                              f / (0)    f // (0) 2
                           f (x ) = f (0) +           x+         x + ...
                                                1!          2!
       Согласно справочнику по математике для дроби вида u/v
первая производная
                                       /
                                 ⎛u⎞   v⋅u/ − u ⋅v/
                                 ⎜ ⎟ =              .
                                 ⎝v⎠       v2
       Тогда
                       f / ( x) =
                                    (0,5 + x )(−1) − (0,5 − x)(1)
                                              (0,5 + x )2
                                                   −1
                                  и f / (0 ) =         = −4 .
                                                  0,52
                             − 1 ⎞ (0,5 + x ) ⋅ 0 + 1 ⋅ (2 x + 1)
                                              /    2
                       ⎛
            f ( x ) = ⎜⎜
               //
                                      ⎟
                                    2 ⎟
                                        =
                       ⎝ (0,5 + x) ⎠             (0,5 + x )4
                                        1
                       и f // (0 ) =        = 16 .
                                     0,0025
       Следовательно, выражение в квадратных скобках преоб-
разуемого уравнения пример вид:
                                                  16
            1 − 4(0,5δ Ä + ∆ Ã / E ) +               (0,5δ Ä + ∆ Ã / E )2 + ...
                                                  2!
        Отбрасывая малые второго и высших порядков и учиты-
вая, что погрешности заданы в виде пределов допускаемых зна-
чений, получим
                               Rx
                    Nx =                [1 + 2δ Ä + 4∆ Ã / E ].
                          1R (1 + δ ì )
           Перенесем (1 + δ ì ) из знаменателя в числитель. Это до-
пустимо, учитывая, что δ ì << 1 , а также то, что погрешность
δì       предельная ( ± ). Из математики известно, что
1 / (1 ± x ) ≈ 1 m x . Тогда
                                           20

Страницы