Введение в квантовую теорию. Шорохов А.В - 5 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ им. Огарева | Саранск

Составители: 

Рубрика: 

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АППАРАТ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ
Элементы теории операторов
Линейное пространство
1
Поскольку математическим аппаратом квантовой механики является теория линейных
операторов в гильбертовом пространстве, нам понадобятся некоторые понятия из этой тео-
рии.
Линейным векторным пространством называется множество V, на котором за-
даны операции сложения и умножения на число. Линейные пространства могут быть заданы
над множеством действительных или комплексных чисел. Элементы линейного пространства
называются векторами. Операции линейного пространства должны удовлетворять десяти
аксиомам, в частности сложение и умножение на число должны быть замкнуты, то есть сум-
ма любых двух векторов и произведение любого вектора на любое число также должны быть
векторами из того же пространства.
Скалярным произведением называется отображение, которое каждой паре векторов
ставит в соответствие некоторое комплексное число. Скалярное произведение векторов u и v
будем обозначать hu|vi. Скалярное произведение должно обладать следующими свойствами:
1. hu|ui ≥ 0, hu|ui = 0 ⇔ u = 0,
2. hu|vi = hv|ui
∗
,
3. hu|v
1
+ v
2
i = hu|v
1
i + hu|v
2
i,
4. hu|αvi = αhu|vi.
Нормой называется числовая функция от вектора со следующими свойствами:
1. kuk ≥ 0, kuk = 0 ⇔ u = 0,
2. kαuk = |α|kuk,
3. ku + vk ≤ kuk + kvk.
Если в пространстве задано скалярное произведение, то норму вектора всегда можно опреде-
лить по формуле
kuk =
p
hu|ui. (1)
Конечномерное линейное пространство со скалярным произведением называется ев-
клидовым пространством. Бесконечномерное линейное пространство со скалярным про-
изведением называется гильбертовым пространством.
1
Материал настоящего раздела следует рассматривать лишь как перечисление тем, знание которых необхо-
димо для восприятия дальнейшего текста. Если при чтении настоящего раздела у читателя возникают затрудне-
ния, рекомендуется обратиться к специальной литературе, например [1].
            МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АППАРАТ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ
                      Элементы теории операторов



                                       Линейное пространство1

          Поскольку математическим аппаратом квантовой механики является теория линейных
операторов в гильбертовом пространстве, нам понадобятся некоторые понятия из этой тео-
рии.
          Линейным векторным пространством называется множество V, на котором за-
даны операции сложения и умножения на число. Линейные пространства могут быть заданы
над множеством действительных или комплексных чисел. Элементы линейного пространства
называются векторами. Операции линейного пространства должны удовлетворять десяти
аксиомам, в частности сложение и умножение на число должны быть замкнуты, то есть сум-
ма любых двух векторов и произведение любого вектора на любое число также должны быть
векторами из того же пространства.
          Скалярным произведением называется отображение, которое каждой паре векторов
ставит в соответствие некоторое комплексное число. Скалярное произведение векторов u и v
будем обозначать hu|vi. Скалярное произведение должно обладать следующими свойствами:

   1. hu|ui ≥ 0, hu|ui = 0 ⇔ u = 0,
   2. hu|vi = hv|ui∗ ,
   3. hu|v1 + v2 i = hu|v1 i + hu|v2 i,
   4. hu|αvi = αhu|vi.

          Нормой называется числовая функция от вектора со следующими свойствами:

   1. kuk ≥ 0, kuk = 0 ⇔ u = 0,
   2. kαuk = |α|kuk,
   3. ku + vk ≤ kuk + kvk.

Если в пространстве задано скалярное произведение, то норму вектора всегда можно опреде-
лить по формуле
                                                      p
                                              kuk =    hu|ui.                                         (1)

          Конечномерное линейное пространство со скалярным произведением называется ев-
клидовым пространством. Бесконечномерное линейное пространство со скалярным про-
изведением называется гильбертовым пространством.
   1
       Материал настоящего раздела следует рассматривать лишь как перечисление тем, знание которых необхо-
димо для восприятия дальнейшего текста. Если при чтении настоящего раздела у читателя возникают затрудне-
ния, рекомендуется обратиться к специальной литературе, например [1].

Страницы