Введение в квантовую теорию. Шорохов А.В - 7 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ им. Огарева | Саранск

Составители: 

Рубрика: 

Электронные учебники МГУ им. Н.П. Огарева 7
Следует отметить, что умножение операторов некоммутативно, то есть существуют такие опе-
раторы, для которых
ˆ
A
ˆ
B 6=
ˆ
B
ˆ
A. Коммутатором операторов
ˆ
A и
ˆ
B называется оператор
[
ˆ
A,
ˆ
B] =
ˆ
A
ˆ
B −
ˆ
B
ˆ
A. (6)
Операторы
ˆ
A и
ˆ
B называются коммутирующими, если [
ˆ
A,
ˆ
B] = 0.
Обратным к
ˆ
A оператором называется оператор
ˆ
A
−1
, для которого справедливо ра-
венство
ˆ
A
−1
ˆ
A =
ˆ
E, (7)
где
ˆ
E – единичный оператор.
Важную роль в квантовой механике играет понятие спектра оператора. Число λ назы-
вается собственным числом (или собственным значением) оператора
ˆ
A, если для неко-
торого ненулевого вектора v
λ
справедливо равенство
ˆ
Av
λ
= λv
λ
. (8)
Вектор v
λ
называется собственным вектором оператора
ˆ
A, соответствующим собственно-
му значению λ. Множество собственных чисел оператора называется его спектром.
2
Соб-
ственное значение λ называется вырожденным, если ему соответствует несколько линей-
но независимых собственных векторов. Число таких векторов называется кратностью вы-
рождения.
Среди всех операторов для квантовой механики наиболее важны так называемые са-
мосопряженные (или эрмитовы) операторы, спектр которых состоит из действительных
собственных значений. Оператор
ˆ
A
+
называется сопряженным к
ˆ
A, если
h
ˆ
A
+
u|vi = hu|
ˆ
Avi ∀ u, v ∈ D(
ˆ
A). (9)
Оператор
ˆ
A называется самосопряженным (эрмитовым), если
ˆ
A
+
=
ˆ
A. Для его матричных
элементов справедливо соотношение A
jk
= A
∗
kj
.
Нетрудно доказать следующее важное утверждение: собственные значения эрми-
това оператора действительны, а собственные векторы, соответствующие раз-
ным собственным значениям, ортогональны.
Оператор
ˆ
U называется унитарным, если для него справедливо равенство
ˆ
U
ˆ
U
+
=
ˆ
U
+
ˆ
U =
ˆ
E. (10)
Здесь
ˆ
E – единичный оператор. Нетрудно показать, что унитарные операторы сохраняют
норму вектора, то есть k
ˆ
Uψk = kψk.
2
Фактически, данное определение относится только к дискретному спектру оператора. Более строгое и пол-
ное определение понятия спектра читатель может найти в специальной литературе, например в [1, 3].
Электронные учебники МГУ им. Н.П. Огарева                                                                 7

Следует отметить, что умножение операторов некоммутативно, то есть существуют такие опе-
раторы, для которых ÂB̂ 6= B̂ Â. Коммутатором операторов Â и B̂ называется оператор

                                            [Â, B̂] = ÂB̂ − B̂ Â.                                    (6)

Операторы Â и B̂ называются коммутирующими, если [Â, B̂] = 0.
          Обратным к Â оператором называется оператор Â−1 , для которого справедливо ра-
венство
                                                 Â−1 Â = Ê,                                          (7)

где Ê – единичный оператор.
          Важную роль в квантовой механике играет понятие спектра оператора. Число λ назы-
вается собственным числом (или собственным значением) оператора Â, если для неко-
торого ненулевого вектора vλ справедливо равенство

                                                 Âvλ = λvλ .                                           (8)

Вектор vλ называется собственным вектором оператора Â, соответствующим собственно-
му значению λ. Множество собственных чисел оператора называется его спектром.2 Соб-
ственное значение λ называется вырожденным, если ему соответствует несколько линей-
но независимых собственных векторов. Число таких векторов называется кратностью вы-
рождения.
          Среди всех операторов для квантовой механики наиболее важны так называемые са-
мосопряженные (или эрмитовы) операторы, спектр которых состоит из действительных
собственных значений. Оператор Â+ называется сопряженным к Â, если

                                    hÂ+ u|vi = hu|Âvi     ∀ u, v ∈ D(Â).                             (9)

Оператор Â называется самосопряженным (эрмитовым), если Â+ = Â. Для его матричных
элементов справедливо соотношение Ajk = A∗kj .
          Нетрудно доказать следующее важное утверждение: собственные значения эрми-
това оператора действительны, а собственные векторы, соответствующие раз-
ным собственным значениям, ортогональны.
          Оператор Û называется унитарным, если для него справедливо равенство

                                             Û Û + = Û + Û = Ê.                                   (10)

Здесь Ê – единичный оператор. Нетрудно показать, что унитарные операторы сохраняют
норму вектора, то есть kÛ ψk = kψk.
   2
       Фактически, данное определение относится только к дискретному спектру оператора. Более строгое и пол-
ное определение понятия спектра читатель может найти в специальной литературе, например в [1, 3].

Страницы