Введение в квантовую теорию. Шорохов А.В - 8 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ им. Огарева | Саранск

Составители: 

Рубрика: 

8 Шорохов А.В., Пятаев М.А.
Функция от оператора может быть задана различными способами. Например, если
функция f(x) разложима в ряд Тейлора
f(x) =
∞
X
n=0
C
n
x
n
, (11)
то ряд
f(
ˆ
A) =
∞
X
n=0
C
n
ˆ
A
n
(12)
определяет функцию f(
ˆ
A) всюду, где он сходится.
Второй способ позволяет задать функцию только от самосопряженных операторов, но
при этом не требует возможности разложения функции f(x) в степенной ряд. Если {a
k
} –
множество собственных значений оператора
ˆ
A, а {e
k
}– соответствующий собственный орто-
нормированный базис, то оператор
ˆ
B, имеющий, те же собственные векторы e
k
, и собственные
значения b
k
= f(a
k
), представляет собой функцию f(
ˆ
A). Если оператор самосопряженный, а
функция разложима в степенной ряд, то оба приведенных выше определения дают одинако-
вый результат.
Одной из важных для квантовой механики функций является экспонента от оператора.
Можно показать, что оператор exp(i
ˆ
A) является унитарным, если оператор
ˆ
A – самосопря-
женный.
*
Литература
[1] А.Н. Колмогоров, С.В. Фомин. Элементы теории функций и функционального анализа.
– М. : Наука, 1981.
[2] П.В. Елютин, В.Д. Кривченков. Квантовая механика (с задачами). – М. : Наука, 1976.
Гл. 1.
[3] Л.Д. Ландау, Е.М. Лифшиц. Квантовая механика. – М. : Наука, 1989. §§ 3-5.
[4] А.С. Давыдов. Квантовая механика. – М. : Наука, 1973. §§ 7-10.
[5] В.А. Фок. Начала квантовой механики. – М. : Наука, 1976. Часть 1, гл. 2.
8                                                                Шорохов А.В., Пятаев М.А.

         Функция от оператора может быть задана различными способами. Например, если
функция f (x) разложима в ряд Тейлора
                                                ∞
                                                X
                                     f (x) =          C n xn ,                        (11)
                                                n=0

то ряд
                                                ∞
                                                X
                                     f (Â) =         Cn Ân                          (12)
                                                n=0

определяет функцию f (Â) всюду, где он сходится.
         Второй способ позволяет задать функцию только от самосопряженных операторов, но
при этом не требует возможности разложения функции f (x) в степенной ряд. Если {ak } –
множество собственных значений оператора Â, а {ek } – соответствующий собственный орто-
нормированный базис, то оператор B̂, имеющий, те же собственные векторы ek , и собственные
значения bk = f (ak ), представляет собой функцию f (Â). Если оператор самосопряженный, а
функция разложима в степенной ряд, то оба приведенных выше определения дают одинако-
вый результат.
         Одной из важных для квантовой механики функций является экспонента от оператора.
Можно показать, что оператор exp(iÂ) является унитарным, если оператор Â – самосопря-
женный.

                                                *


                                        Литература

[1] А.Н. Колмогоров, С.В. Фомин. Элементы теории функций и функционального анализа.
    – М. : Наука, 1981.
[2] П.В. Елютин, В.Д. Кривченков. Квантовая механика (с задачами). – М. : Наука, 1976.
    Гл. 1.
[3] Л.Д. Ландау, Е.М. Лифшиц. Квантовая механика. – М. : Наука, 1989. §§ 3-5.
[4] А.С. Давыдов. Квантовая механика. – М. : Наука, 1973. §§ 7-10.
[5] В.А. Фок. Начала квантовой механики. – М. : Наука, 1976. Часть 1, гл. 2.

Страницы