Введение в квантовую теорию. Шорохов А.В - 6 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ им. Огарева | Саранск

Составители: 

Рубрика: 

6 Шорохов А.В., Пятаев М.А.
Важным понятием в теории линейных пространств является понятие ортогонального
базиса. Векторы u и v называются ортогональными, если hu|vi = 0. Множество ненулевых
векторов называется ортогональной системой, если все векторы в нем попарно ортогональ-
ны. Ортогональная система векторов называется полной, если в пространстве не существует
ненулевого вектора, ортогонального всем векторам данной системы. Ортогональная систе-
ма называется ортонормированной, если норма каждого вектора равна единице. Полная ор-
тогональная (ортонормированная) система векторов называется ортогональным
(ортонормированным) базисом. Для векторов ортонормированного базиса справедливо
соотношение he
j
|e
k
i = δ
jk
, где δ
jk
– δ-символ Кронекера. Любой вектор пространства можно
разложить в ряд по ортогональному базису:
u =
X
k
C
k
e
k
, где C
k
=
he
k
|ui
he
k
|e
k
i
.
Операторы в линейном пространстве
Отображение линейного пространства на себя называется оператором. Оператор
ˆ
A
называется линейным, если он обладает свойствами
1.
ˆ
A(u + v) =
ˆ
Au +
ˆ
Av,
2.
ˆ
A(αu) = α
ˆ
Au.
В дальнейшем мы будем рассматривать только линейные операторы.
Во многих случаях оператор может быть задан не на всем пространстве, а лишь на
некотором линейном подпространстве. Область определения оператора
ˆ
A будем обозначать
D(
ˆ
A).
Если {e
k
}– ортонормированный базис, то оператор может быть задан с помощью мат-
рицы A
jk
, преобразующей координаты векторов по формуле
v
j
=
X
k
A
jk
u
k
. (2)
При этом матричные элементы A
jk
оператора
ˆ
A определяются выражением
A
jk
= he
j
|
ˆ
Ae
k
i. (3)
Суммой операторов
ˆ
A и
ˆ
B называется оператор
ˆ
A +
ˆ
B, действие которого по опреде-
лению задается следующим образом
(
ˆ
A +
ˆ
B)u =
ˆ
Au +
ˆ
Bu. (4)
Произведением операторов
ˆ
A и
ˆ
B называется оператор
ˆ
A
ˆ
B, действие которого заключается
в последовательном применении сначала оператора
ˆ
B, а затем оператора
ˆ
A:
(
ˆ
A
ˆ
B)u =
ˆ
A(
ˆ
Bu). (5)
6                                                                             Шорохов А.В., Пятаев М.А.

         Важным понятием в теории линейных пространств является понятие ортогонального
базиса. Векторы u и v называются ортогональными, если hu|vi = 0. Множество ненулевых
векторов называется ортогональной системой, если все векторы в нем попарно ортогональ-
ны. Ортогональная система векторов называется полной, если в пространстве не существует
ненулевого вектора, ортогонального всем векторам данной системы. Ортогональная систе-
ма называется ортонормированной, если норма каждого вектора равна единице. Полная ор-
тогональная (ортонормированная) система векторов называется ортогональным
(ортонормированным) базисом. Для векторов ортонормированного базиса справедливо
соотношение hej |ek i = δjk , где δjk – δ-символ Кронекера. Любой вектор пространства можно
разложить в ряд по ортогональному базису:
                                     X                          hek |ui
                                u=       Ck e k ,   где Ck =              .
                                     k
                                                                hek |ek i


                            Операторы в линейном пространстве

         Отображение линейного пространства на себя называется оператором. Оператор Â
называется линейным, если он обладает свойствами

    1. Â(u + v) = Âu + Âv,
    2. Â(αu) = αÂu.

В дальнейшем мы будем рассматривать только линейные операторы.
         Во многих случаях оператор может быть задан не на всем пространстве, а лишь на
некотором линейном подпространстве. Область определения оператора Â будем обозначать
D(Â).
         Если {ek } – ортонормированный базис, то оператор может быть задан с помощью мат-
рицы Ajk , преобразующей координаты векторов по формуле
                                         X
                                    vj =    Ajk uk .                                                (2)
                                                    k

При этом матричные элементы Ajk оператора Â определяются выражением

                                           Ajk = hej |Âek i.                                       (3)

         Суммой операторов Â и B̂ называется оператор Â + B̂, действие которого по опреде-
лению задается следующим образом

                                     (Â + B̂)u = Âu + B̂u.                                        (4)

Произведением операторов Â и B̂ называется оператор ÂB̂, действие которого заключается
в последовательном применении сначала оператора B̂, а затем оператора Â:

                                          (ÂB̂)u = Â(B̂u).                                        (5)

Страницы