Введение в квантовую теорию. Шорохов А.В - 10 стр.

10                                                                          Шорохов А.В., Пятаев М.А.

Основным утверждением, от которого пришлось отказаться при анализе явлений микромира,
является утверждение о том, что в любом состоянии все физические величины имеют стро-
го определенные значения. В результате была построена механика микромира или квантовая
механика. Как показал опыт, объяснение некоторых явлений было невозможно без предполо-
жения о том, что в некоторых состояниях некоторые величины не имеют строго определенных
значений. При этом многократные измерения одной и той же величины в системе, приводимой
в то же начальное состояние, дают различные результаты, но позволяют определить вероят-
ности различных значений изучаемой величины. Таким образом, в новой теории изменилась
сама постановка задачи. Основная задача квантовой механики – знать распределения ве-
роятностей всех физических величин в любой момент времени. Эта задача существенно от-
личается от задачи классической механики. Если в классике в ответе требовалось получить
конечное число действительных чисел в любой момент времени, то в квантовой механике, тре-
буется найти некоторое число функций. Для решения этой задачи потребовалось разработать
новый математический аппарат для описания состояний, физических величин и эволюции.


                                    Состояния в квантовой механике

            Будем обозначать состояние системы буквой ψ, а множество всех возможных состо-
яний – буквой H.3 Выясним, какими свойствами должно обладать множество состояний H.
Пусть в состоянии ψ1 величина F имеет значение f1 , а в состоянии ψ2 – значение f2 . Как
показывает опыт, существуют такие состояния ψ, в которых величина F имеет с некоторой
вероятностью w1 значение f1 и с вероятностью w2 значение f2 . Естественно считать, что со-
стояние ψ является в некотором смысле комбинацией состояний ψ1 и ψ2 . Наиболее простой
способ описания этой ситуации состоит в том, чтобы наделить множество H структурой ли-
нейного пространства и считать, что ψ является линейной комбинацией ψ1 и ψ2

                                              ψ = C1 ψ1 + C2 ψ2 .                                      (14)

            В связи с этим можно утверждать, что каждому состоянию системы в квантовой
теории ставится в соответствие вектор из некоторого линейного пространства.
            Теперь рассмотрим вопрос о том, как найти распределение вероятностей wψ (f ) различ-
ных значений величины F в состоянии ψ. Одной из особенностей квантовой механики явля-
ется дискретный характер изменения некоторых величин. То есть при определенных услови-
ях некоторые величины могут принимать значения только из некоторого дискретного набора.
В то же время в других условиях те же самые величины могут изменяться непрерывно. На-
пример, энергия электрона в атоме водорода принимает дискретный набор значений, а при
свободном движении того же электрона его энергия может меняться непрерывно. Поэтому
для квантовой механики нужен математический аппарат, позволяющий одинаковым образом
     3
         Как будет показано ниже, множество H удобно наделить структурой Гильбертова пространства. Этим объ-
ясняется выбор буквы H.