Введение в квантовую теорию. Шорохов А.В - 12 стр.

12                                                                  Шорохов А.В., Пятаев М.А.

Формула (18) остается справедливой и в том случае, когда одному значению физической ве-
личины соответствует несколько собственных векторов пространства H (эти векторы могут
соответствовать различным значениям других физических величин). В таком случае говорят,
что собственное значение физической величины вырождено.


                Средние значения наблюдаемых в квантовой механике

Рассмотрим теперь, как найти среднее значение наблюдаемой в некотором состоянии. Оче-
видно, что для этого нужно просуммировать все возможные значения величины с соответ-
ствующими вероятностями
                          X                 X hψ|P̂f ψi     1       X
                hf iψ =       f wψ (f ) =     f         =       hψ|   f P̂f ψi.          (19)
                          f                 f
                                                hψ|ψi     hψ|ψi     f

Заметим, что выражение
                                                    X
                                             F̂ =         f P̂f .                        (20)
                                                      f

представляет собой линейный оператор. Именно этот оператор однозначно определяет физи-
ческую величину F . Действительно, чтобы задать физическую величину, необходимо задать
набор ее допустимых значений и соответствующих им собственных состояний. А это, как сле-
дует из формулы (20), равносильно заданию линейного оператора. Поскольку собственные
значений всех наблюдаемых являются действительными числами, то операторы, которые со-
ответствуют наблюдаемым, должны быть самосопряженными (эрмитовыми). Таким образом,
физические величины (наблюдаемые) в квантовой механике описываются с помощью
линейных самосопряженных операторов.
      Отметим, что набор всех собственных состояний физической величины должен обра-
зовывать базис в гильбертовом пространстве H, потому что в результате измерения физиче-
ской величины всегда можно получить какое-либо ее значение.
      Используя оператор F̂ , формулу (19) для среднего значения наблюдаемой можно за-
писать в виде
                                                      hψ|F̂ ψi
                                            hF iψ =            .                         (21)
                                                       hψ|ψi
Если вектор состояний нормирован на единицу, то формула (21) упрощается

                                            hF iψ = hψ|F̂ ψi.                            (22)



                                     Непрерывный спектр

      Если величина F изменяется непрерывно, то основная задача теории состоит в нахож-
дении плотности вероятности ρ(f ) ее различных значений. В этом случае необходимо рас-
сматривать операторы с непрерывным спектром. Собственные функции, соответствующие