Введение в квантовую теорию. Шорохов А.В - 11 стр.

Электронные учебники МГУ им. Н.П. Огарева                                                 11

описывать дискретные и непрерывные величины. Как будет показано ниже, таким аппаратом
является теория линейных операторов в гильбертовом пространстве.
      Рассмотрим сначала дискретную физическую величину. Определим, какими свойства-
ми должна обладать функция wψ (f ). Во-первых, ясно, что wψ (f ) ≥ 0. Во-вторых, если в
состоянии ψ0 наблюдаемая F имеет значение f0 , то wψ0 (f ) = δf f0 . Состояние, в котором фи-
зическая величина имеет определенное значение, будем называть собственным состоянием
этой величины. B-третьих, должно выполняться условие нормировки для вероятности
                                X
                                   wψ (f ) = 1 ∀ ψ ∈ H.                                 (15)
                                   f

      Как следует из второго свойства, для построения функции wψ (f ) удобно использовать
проекцию вектора ψ на собственное состояние величины F . Чтобы удовлетворить первому
свойству, нужно воспользоваться какой-либо неотрицательной функцией, например квадра-
том модуля. Чтобы удовлетворить третьему условию, необходимо провести нормировку. На
основе вышесказанного можно определить wψ (f ) следующим образом:
                                                   |hψf |ψi|2
                                       wψ (f ) =              ,                         (16)
                                                     hψ|ψi
где ψf – собственный вектор величины F , соответствующий значению f . Собственный вектор
предполагается нормированным, то есть kψf k = 1. В таком случае скалярное произведение
hψf |ψi определяет величину проекции вектора ψ на вектор ψf .
      Как видим, в пространстве H состояний системы удобно задать скалярное произве-
дение, следовательно H должно обладать структурой гильбертова пространства. Таким об-
разом, состояние системы в квантовой механике описывается вектором из гильбер-
това пространства. Отметим, что вектор состояния определен с точностью до множителя,
поскольку умножение ψ на константу не меняет вероятность, определенную формулой (16).
Обычно множитель можно определить из условия нормировки

                                            kψk = 1.                                    (17)

В таком случае выражение (16) принимает более простой вид wψ (f ) = |hψf |ψi|2 . Заметим, что
нулевой вектор из H не соответствует никакому состоянию.
      Если пространство состояний H для одной частицы реализовано как L2 (R3 ), то есть
вектор состояния представляет собой функцию координат ψ(~r), то говорят, что используется
координатное представление. В таком случае функция ρ(~r) = |ψ(~r)|2 описывает плот-
ность вероятности нахождения частицы в точке ~r. Условие нормировки (17) в этом случае
означает, что вероятность найти частицу где-либо в пространстве равна единице.
      Выражение (16) для wψ (f ) можно записать еще одним способом, используя проекци-
онный оператор P̂f , который действует следующим образом P̂f ψ = hψf |ψiψf . Тогда

                                                   hψ|P̂f ψi
                                       wψ (f ) =             .                          (18)
                                                    hψ|ψi