Введение в квантовую теорию. Шорохов А.В - 13 стр.

Электронные учебники МГУ им. Н.П. Огарева                                              13

непрерывному спектру, не могут быть нормированы на единицу. Обычно для них использу-
ется условие нормировки на δ-функцию

                                          hψf |ψf 0 i = δ(f − f 0 ).                  (23)

При такой нормировке выражение

                                                     |hψf |ψi|2
                                          dwψ (f ) =            df                    (24)
                                                       hψ|ψi

определяет вероятность того, что значение величины F лежит в интервале (f, f + df ). Плот-
ность вероятности дается формулой

                                                        |hψf |ψi|2
                                            ρψ (f ) =              .                  (25)
                                                          hψ|ψi

Формула (21) для среднего значения остается справедливой и в случае непрерывного спектра.
Спектральное разложение для оператора непрерывной физической величины, аналогичное
формуле (20), будет содержать интеграл вместо суммы.


                                      Неравенство Гайзенберга

         Отметим, что хотя описание состояний и физических величин в квантовой механике
существенно отличается по форме от классического, тем не менее, сам по себе этот способ
описания еще не приводит к новым физически значимым результатам. Однако язык операто-
ров естественным образом позволяет ввести обобщение в математический аппарат, которое
приводит к принципиально новым физическим следствиям. Как известно, умножение опера-
торов в общем случае некоммутативно, то есть существуют операторы Â и B̂, для которых
ÂB̂ 6= B̂ Â. Существенно новым шагом при переходе от классической механики к квантовой
является включение в теорию некоммутирующих операторов.
         Рассмотрим два некоммутирующих эрмитова оператора Â и B̂. Их коммутатор обозна-
чим [Â, B̂] = iĈ. Отметим, что множитель i обеспечивает эрмитовость оператора Ĉ. Введем
операторы ∆ =  − hAi и ∆B̂ = B̂ − hBi, где hAi и hBi – средние значения величин A и B
в состоянии ψ. Нетрудно показать,4 что

                                        [∆Â, ∆B̂] = [Â, B̂] = iĈ.                  (26)

Составим оператор ∆ + ix∆B̂, где x – некоторое действительное число, и рассмотрим квад-
рат нормы вектора (∆ + ix∆B̂)ψ (вектор ψ считаем нормированным: kψk = 1)

                        ˆ + ix∆B)ψk
                      k(∆A    ˆ    2     ˆ + ix∆B̂)ψ|(∆A
                                     = h(∆A           ˆ + ix∆B̂)ψi =

               = h∆Âψ|∆Âψi + ixh∆Âψ|∆B̂ψi − ixh∆B̂ψ|∆Âψi + x2 h∆B̂ψ|∆B̂ψi.        (27)
  4
      Студенту предлагается проделать это самостоятельно в качестве упражнения.