Введение в квантовую теорию. Шорохов А.В - 14 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ им. Огарева | Саранск

Составители: 

Рубрика: 

14 Шорохов А.В., Пятаев М.А.
Используя эрмитовость операторов
ˆ
A и
ˆ
B, найдем
k(
ˆ
∆A + ix
ˆ
∆B)ψk
2
= hψ|(∆
ˆ
A)
2
ψi+ xhψ|i(∆
ˆ
A∆
ˆ
B − ∆
ˆ
B∆
ˆ
A)ψi+ x
2
hψ|(∆
ˆ
B)
2
ψi. (28)
Учитывая формулу (26), получим
k(
ˆ
∆A + ix
ˆ
∆B)ψk
2
= h(∆
ˆ
A)
2
i + xhCi + x
2
h(∆
ˆ
B)
2
i ≥ 0. (29)
Полученный квадратный трехчлен относительно x должен быть неотрицательным при любых
действительных x, а это возможно, если его дискриминант неположителен, то есть
4h(∆
ˆ
A)
2
ih(∆
ˆ
B)
2
i − hCi
2
≤ 0, (30)
или
h(∆
ˆ
A)
2
ih(∆
ˆ
B)
2
i ≥
hCi
2
4
. (31)
Формула (31) называется неравенством Гайзенберга. Как следует из (31), дисперсии двух
величин c некоммутирующими операторами не могут обратиться в ноль одновременно. Это
означает, что такие величины не могут быть одновременно точно измерены. Таким образом,
использование некоммутирующих операторов в квантовой механике приводит к тому, что в
теории возникают не измеримые одновременно наблюдаемые. Этот результат принципиально
отличается от классической механики, где измерение каждой величины может быть проведено
независимо от измерения других величин.
*
Литература
[1] Л.Д. Фаддеев, О.А. Якубовский. Лекции по квантовой механике для студентов-
математиков. – Л. : Изд-во ЛГУ, 1980. §§1-6.
[2] В.А. Фок. Начала квантовой механики. – М. : Наука, 1976. Часть 1, гл. 1-3.
[3] Л.Д. Ландау, Е.М. Лифшиц. Квантовая механика. – М. : Наука, 1989. Гл. 1-2.
[4] А.С. Давыдов. Квантовая механика. – М. : Наука, 1973. Гл. 1.
14                                                               Шорохов А.В., Пятаев М.А.

Используя эрмитовость операторов Â и B̂, найдем

        ˆ + ix∆B)ψk
      k(∆A    ˆ     2
                      = hψ|(∆Â)2 ψi + xhψ|i(∆Â∆B̂ − ∆B̂∆Â)ψi + x2 hψ|(∆B̂)2 ψi.    (28)

Учитывая формулу (26), получим

                     ˆ + ix∆B)ψk
                   k(∆A    ˆ     2
                                   = h(∆Â)2 i + xhCi + x2 h(∆B̂)2 i ≥ 0.             (29)

Полученный квадратный трехчлен относительно x должен быть неотрицательным при любых
действительных x, а это возможно, если его дискриминант неположителен, то есть

                               4h(∆Â)2 ih(∆B̂)2 i − hCi2 ≤ 0,                        (30)

или
                                              hCi2
                                  h(∆Â)2 ih(∆B̂)2 i ≥
                                                   .                             (31)
                                                4
Формула (31) называется неравенством Гайзенберга. Как следует из (31), дисперсии двух
величин c некоммутирующими операторами не могут обратиться в ноль одновременно. Это
означает, что такие величины не могут быть одновременно точно измерены. Таким образом,
использование некоммутирующих операторов в квантовой механике приводит к тому, что в
теории возникают не измеримые одновременно наблюдаемые. Этот результат принципиально
отличается от классической механики, где измерение каждой величины может быть проведено
независимо от измерения других величин.

                                              *


                                        Литература

[1] Л.Д. Фаддеев, О.А. Якубовский.         Лекции по квантовой механике для студентов-
    математиков. – Л. : Изд-во ЛГУ, 1980. §§1-6.
[2] В.А. Фок. Начала квантовой механики. – М. : Наука, 1976. Часть 1, гл. 1-3.
[3] Л.Д. Ландау, Е.М. Лифшиц. Квантовая механика. – М. : Наука, 1989. Гл. 1-2.
[4] А.С. Давыдов. Квантовая механика. – М. : Наука, 1973. Гл. 1.

Страницы