Введение в квантовую теорию. Шорохов А.В - 16 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ им. Огарева | Саранск

Составители: 

Рубрика: 

16 Шорохов А.В., Пятаев М.А.
Уравнение (36) позволяет найти вектор состояния системы в любой момент времени. В
свою очередь, вектор состояния позволяет определить вероятности различных значений всех
физических величин и, тем самым, решить основную задачу квантовой механики. Однако,
уравнение (36) не очень удобно с практической точки зрения, так как нахождение экспоненты
от оператора является весьма непростой задачей. Гораздо более удобным является уравне-
ние эволюции в дифференциальной форме. Продифференцировав уравнение (36) по времени,
найдем
∂Ψ(q, t)
∂t
= −
i
~
ˆ
HΨ(q, t). (37)
Формула (37) называется уравнением Шрёдингера. Это уравнение описывает эволюцию
состояний системы в квантовой механике.
Стационарные состояния
Определим общий вид решения уравнения Шрёдингера. Поскольку гамильтониан яв-
ляется самосопряженным оператором, он обладает собственным ортонормированным бази-
сом. Разложим произвольную волновую функцию Ψ(q, t) в ряд по собственным функциям
ψ
n
(q) гамильтониана
ˆ
H
Ψ(q, t) =
X
n
ϕ
n
(t)ψ
n
(q). (38)
Подставляя (38) в уравнение (37), получим
X
n
dϕ
n
(t)
dt
ψ
n
(q) − ϕ
n
(t)
1
i~
ˆ
Hψ
n
(q)
= 0. (39)
Учитывая, что
ˆ
Hψ
n
(q) = E
n
ψ
n
(q) (собственные значения гамильтониана принято обозначать
E
n
), получим
X
n
dϕ
n
(t)
dt
−
E
n
i~
ϕ
n
(t)
ψ
n
(q) = 0. (40)
Так как собственные функции гамильтониана линейно независимы, для каждой из функций
ϕ
n
(t) должно выполняться уравнение
dϕ
n
(t)
dt
+
iE
n
~
ϕ
n
(t) = 0. (41)
Решение этого уравнения, как нетрудно видеть, имеет вид
ϕ
n
(t) = C
n
exp
−
iE
n
t
~
, (42)
где C
n
– постоянная, определяемая из начальных условий.
Таким образом, зависимость волновой функции от времени определяется уравнением
Ψ(q, t) =
X
n
C
n
exp
−
iE
n
t
~
ψ
n
(q). (43)
16                                                                   Шорохов А.В., Пятаев М.А.

      Уравнение (36) позволяет найти вектор состояния системы в любой момент времени. В
свою очередь, вектор состояния позволяет определить вероятности различных значений всех
физических величин и, тем самым, решить основную задачу квантовой механики. Однако,
уравнение (36) не очень удобно с практической точки зрения, так как нахождение экспоненты
от оператора является весьма непростой задачей. Гораздо более удобным является уравне-
ние эволюции в дифференциальной форме. Продифференцировав уравнение (36) по времени,
найдем
                              ∂Ψ(q, t)    i
                                       = − ĤΨ(q, t).                       (37)
                                 ∂t       ~
Формула (37) называется уравнением Шрёдингера. Это уравнение описывает эволюцию
состояний системы в квантовой механике.


                                  Стационарные состояния

      Определим общий вид решения уравнения Шрёдингера. Поскольку гамильтониан яв-
ляется самосопряженным оператором, он обладает собственным ортонормированным бази-
сом. Разложим произвольную волновую функцию Ψ(q, t) в ряд по собственным функциям
ψn (q) гамильтониана Ĥ
                                               X
                                   Ψ(q, t) =       ϕn (t)ψn (q).                          (38)
                                               n

Подставляя (38) в уравнение (37), получим
                         X  dϕn (t)                 1
                                                             
                                     ψn (q) − ϕn (t) Ĥψn (q) = 0.                        (39)
                          n
                                dt                  i~

Учитывая, что Ĥψn (q) = En ψn (q) (собственные значения гамильтониана принято обозначать
En ), получим
                             X  dϕn (t)     En
                                                      
                                           −    ϕn (t) ψn (q) = 0.                        (40)
                              n
                                     dt      i~
Так как собственные функции гамильтониана линейно независимы, для каждой из функций
ϕn (t) должно выполняться уравнение

                                   dϕn (t) iEn
                                          +    ϕn (t) = 0.                                (41)
                                     dt     ~
Решение этого уравнения, как нетрудно видеть, имеет вид
                                                       
                                                  iEn t
                                ϕn (t) = Cn exp −         ,                               (42)
                                                    ~
где Cn – постоянная, определяемая из начальных условий.
      Таким образом, зависимость волновой функции от времени определяется уравнением
                                                    
                                    X          iEn t
                          Ψ(q, t) =   Cn exp −         ψn (q).                    (43)
                                    n
                                                ~

Страницы