Введение в квантовую теорию. Шорохов А.В - 17 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ им. Огарева | Саранск

Составители: 

Рубрика: 

Электронные учебники МГУ им. Н.П. Огарева 17
Как видно из формулы (43), для определения временной эволюции системы нужно найти соб-
ственные функции и собственные значения гамильтониана. Для этого требуется найти реше-
ние стационарного уравнения Шрёдингера
ˆ
Hψ
n
(q) = E
n
ψ
n
(q). (44)
Знание собственных функций и собственных значений гамильтониана позволяет получить прак-
тически всю необходимую информацию о системе, поэтому решение стационарного уравнения
Шрёдингера (44) является одной из важнейших задач квантовой механики.
Производные от наблюдаемых
Найдем теперь способ определения производных по времени от физических величин.
Естественно задать оператор производной так, чтобы выполнялось условие
*
d
ˆ
A
dt
+
=
dh
ˆ
Ai
dt
. (45)
Подставим в (45) формулу для среднего значения наблюдаемой (вектор состояния считаем
нормированным на единицу)
dh
ˆ
Ai
dt
=
dhψ|
ˆ
Aψi
dt
=
∂ψ
∂t
ˆ
Aψ
+
*
ψ
∂
ˆ
A
∂t
ψ
+
+
ψ
ˆ
A
∂ψ
∂t
. (46)
Воспользовавшись уравнением Шредингера (37), получим
dh
ˆ
Ai
dt
=
*
ψ
∂
ˆ
A
∂t
ψ
+
+
1
i~
ˆ
Hψ
ˆ
Aψ
+
ψ
ˆ
A
1
i~
ˆ
Hψ
. (47)
Учитывая эрмитовость операторов
ˆ
A и
ˆ
H, найдем
dh
ˆ
Ai
dt
=
*
ψ
∂
ˆ
A
∂t
ψ
+
+
1
i~
D
ψ
ˆ
A
ˆ
H −
ˆ
A
ˆ
H
ψ
E
. (48)
Принимая во внимание формулу для среднего значения и формулу (45), мы можем записать
*
d
ˆ
A
dt
+
=
*
∂
ˆ
A
∂t
+
+
1
i~
D
ˆ
A
ˆ
H −
ˆ
A
ˆ
H
E
. (49)
Поскольку равенство (49) должно выполняться для любых состояний, очевидно, что анало-
гичное соотношение должно быть справедливо и для самих операторов
d
ˆ
A
dt
=
∂
ˆ
A
∂t
+
1
i~
h
ˆ
A,
ˆ
H
i
, (50)
где [
ˆ
A,
ˆ
H] =
ˆ
A
ˆ
H −
ˆ
A
ˆ
H. Формула (50) называется уравнением движения для операторов
в форме Гайзенберга. Она позволяет найти оператор производной от физической величины
по времени.
Электронные учебники МГУ им. Н.П. Огарева                                               17

Как видно из формулы (43), для определения временной эволюции системы нужно найти соб-
ственные функции и собственные значения гамильтониана. Для этого требуется найти реше-
ние стационарного уравнения Шрёдингера

                                   Ĥψn (q) = En ψn (q).                               (44)

Знание собственных функций и собственных значений гамильтониана позволяет получить прак-
тически всю необходимую информацию о системе, поэтому решение стационарного уравнения
Шрёдингера (44) является одной из важнейших задач квантовой механики.


                            Производные от наблюдаемых

      Найдем теперь способ определения производных по времени от физических величин.
Естественно задать оператор производной так, чтобы выполнялось условие
                                    * +
                                      d      dhÂi
                                           =         .                                 (45)
                                      dt        dt

Подставим в (45) формулу для среднего значения наблюдаемой (вектор состояния считаем
нормированным на единицу)
                                                      *          +            
              dhÂi   dhψ|Âψi         ∂ψ                 ∂ Â                ∂ψ
                    =          =          Âψ       +   ψ      ψ       + ψ Â      .   (46)
               dt        dt            ∂t                 ∂t                  ∂t

Воспользовавшись уравнением Шредингера (37), получим
                        *         +                     
                dhÂi       ∂ Â       1                1
                      = ψ        ψ +     Ĥψ Âψ + ψ Â Ĥψ .                          (47)
                  dt        ∂t        i~               i~

Учитывая эрмитовость операторов Â и Ĥ, найдем
                            *          +
                    dhÂi        ∂ Â        1 D             E
                          = ψ         ψ +       ψ ÂĤ − ÂĤ ψ .                      (48)
                      dt         ∂t         i~

Принимая во внимание формулу для среднего значения и формулу (45), мы можем записать
                       * + *            +
                         d       ∂       1 D            E
                              =           +       ÂĤ − ÂĤ .                   (49)
                         dt        ∂t       i~

Поскольку равенство (49) должно выполняться для любых состояний, очевидно, что анало-
гичное соотношение должно быть справедливо и для самих операторов

                                d   ∂     1 h       i
                                    =      +      Â, Ĥ ,                             (50)
                                dt    ∂t     i~
где [Â, Ĥ] = ÂĤ − ÂĤ. Формула (50) называется уравнением движения для операторов
в форме Гайзенберга. Она позволяет найти оператор производной от физической величины
по времени.

Страницы