Введение в квантовую теорию. Шорохов А.В - 19 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ им. Огарева | Саранск

Составители: 

Рубрика: 

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АППАРАТ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ
Операторы координаты и импульса
Поскольку классическая механика является предельным случаем квантовой механи-
ки, функциональная зависимость между физическими величинами должна быть одинаковой
в обеих теориях. В классической механики все физические величины являются функциями
обобщенных координат и импульсов. Поэтому, для того, чтобы определить явный вид опе-
раторов всех физических величин нужно сначала найти явный вид операторов координат и
импульсов. Для этого мы воспользуемся аппаратом скобок Пуассона.
Скобки Пуассона
В классической механике важную роль играет выражение
{F, G} =
s
X
k=1
∂F
∂p
k
∂G
∂q
k
−
∂F
∂q
k
∂G
∂p
k
, (53)
называемое скобками Пуассона. Здесь q
k
и p
k
– обобщенные координаты и импульсы, s –
число степеней свободы. Как следует из уравнений Гамильтона, производная по времени от
физической величины, может быть выражена через скобки Пуассона этой величины и функ-
ции Гамильтона
dF
dt
=
∂F
∂t
+ {F, H}. (54)
Если величина F не зависит от времени явно, то мы получаем
dF
dt
= {F, H}. (55)
Отсюда следует, что величина F является интегралом движения, если ее скобки Пуассона с
функцией Гамильтона равны нулю.
Скобки Пуассона обладают рядом свойств, которые достаточно легко
5
проверяются
на основании определения:
1. {F, G} = −{G, F } – антисимметричность,
2. {F
1
+ αF
2
, G} = {F
1
, G} + α{F
2
, G} – линейность,
3. {F, {G, L}} + {G, {L, F }} + {L, {F, G}}=0 – тождество Якоби,
4. {F G, L} = F {G, L} + {F, L}G=0,
5. если c = const, то {F, c}=0 для любой физической величины F ,
6. для обобщенных координат q
k
и импульсов p
k
скобки Пуассона имеют вид {q
j
, q
k
} = 0,
{p
j
, p
k
} = 0, {p
j
, q
k
} = δ
jk
.
5
Исключение в случае классической механики представляет только тождество Якоби, однако его доказа-
тельство читатель может найти в любом учебнике по теоретической механике.
            МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АППАРАТ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ
                    Операторы координаты и импульса

          Поскольку классическая механика является предельным случаем квантовой механи-
ки, функциональная зависимость между физическими величинами должна быть одинаковой
в обеих теориях. В классической механики все физические величины являются функциями
обобщенных координат и импульсов. Поэтому, для того, чтобы определить явный вид опе-
раторов всех физических величин нужно сначала найти явный вид операторов координат и
импульсов. Для этого мы воспользуемся аппаратом скобок Пуассона.


                                              Скобки Пуассона

          В классической механике важную роль играет выражение
                                                 s                  
                                                X    ∂F ∂G    ∂F ∂G
                                       {F, G} =             −          ,                           (53)
                                                k=1
                                                     ∂pk ∂qk ∂qk ∂pk

называемое скобками Пуассона. Здесь qk и pk – обобщенные координаты и импульсы, s –
число степеней свободы. Как следует из уравнений Гамильтона, производная по времени от
физической величины, может быть выражена через скобки Пуассона этой величины и функ-
ции Гамильтона
                                  dF     ∂F
                                      =      + {F, H}.                                             (54)
                                   dt    ∂t
Если величина F не зависит от времени явно, то мы получаем

                                                 dF
                                                    = {F, H}.                                      (55)
                                                 dt
Отсюда следует, что величина F является интегралом движения, если ее скобки Пуассона с
функцией Гамильтона равны нулю.
          Скобки Пуассона обладают рядом свойств, которые достаточно легко5 проверяются
на основании определения:

   1. {F, G} = −{G, F } – антисимметричность,
   2. {F1 + αF2 , G} = {F1 , G} + α{F2 , G} – линейность,
   3. {F, {G, L}} + {G, {L, F }} + {L, {F, G}}=0 – тождество Якоби,
   4. {F G, L} = F {G, L} + {F, L}G=0,
   5. если c = const, то {F, c}=0 для любой физической величины F ,
   6. для обобщенных координат qk и импульсов pk скобки Пуассона имеют вид {qj , qk } = 0,
         {pj , pk } = 0, {pj , qk } = δjk .
   5
       Исключение в случае классической механики представляет только тождество Якоби, однако его доказа-
тельство читатель может найти в любом учебнике по теоретической механике.

Страницы