Введение в квантовую теорию. Шорохов А.В - 20 стр.

20                                                                        Шорохов А.В., Пятаев М.А.

            Для того, чтобы классическая механика являлась предельным случаем квантовой ме-
ханики, необходимо, чтобы взаимосвязь между операторами квантовой механики была та-
кой же, как между соответствующими им величинами классической механики. В частности,
в квантовой механике должна существовать операция, со свойствами, аналогичными свой-
ствам классических скобок Пуассона. При этом, если в классической механике F = {G, L},
то аналогичное соотношение должно быть справедливо и для квантовомеханических опера-
торов этих величин.
            Можно показать [1], что, если в теории имеются некоммутирующие операторы, то опе-
рация, обладающая свойствами 1)–4) должна иметь вид

                                             {F̂ , Ĝ} = c[F̂ , Ĝ],                                (56)

где [F̂ , Ĝ] – коммутатор операторов F̂ и Ĝ, а c – некоторая постоянная. Поскольку скобки
Пуассона двух физических величин также являются физической величиной, оператор {F̂ , Ĝ}
должен быть эрмитовым, а для этого, как нетрудно видеть, постоянная c должна быть мнимой.
Выбор этой постоянной определяет связь между оператором Гамильтона, входящим в уравне-
ние Шрёдингера, и оператором полной энергии системы. Если выбрать c = i/~, то оператор H
будет соответствовать полной энергии системы. Следовательно квантовая скобка Пуассона
операторов F̂ и Ĝ должна иметь вид
                                                           i
                                             {F̂ , Ĝ} =     [F̂ , Ĝ].                             (57)
                                                           ~
Используя, уравнение движение для операторов в форме Гайзенберга и формулу (57), полу-
чим, что производная от физической величины в квантовой механике выражается через скоб-
ки Пуассона этой величины с гамильтонианом по формуле

                                            dF̂   ∂ F̂
                                                =      + {F̂ , Ĥ},                                 (58)
                                            dt    ∂t
то есть таким же образом, как и в классической механике.


                                  Операторы координаты и импульса

Как уже упоминалось, в качестве базиса в гильбертовом пространстве состояний удобно вы-
брать собственный базис оператора какой-либо физической величины. Если в качестве бази-
са в пространстве состояний одной частицы выбраны обобщенные собственные векторы опе-
ратора координаты (координатное представление), то любой вектор задается комплексной6
функцией от координат. Оператор координаты действует в таком пространстве как оператор
умножения
                                              x̂j ψ(~r) = xj ψ(~r).                                 (59)
     6
         Необходимость рассматривать комплексные функции вытекает, например, из вида временного уравнения
Шрёдингера, содержащего мнимую единицу.