Введение в квантовую теорию. Шорохов А.В - 21 стр.

Электронные учебники МГУ им. Н.П. Огарева                                                             21

Здесь индекс j = 1, 2, 3 соответствует координатам x, y и z.
         Найдем вид оператора импульса в координатном представлении. Для этого потребуем,
чтобы квантовомеханические скобки Пуассона для компонент координаты и импульса имели
те же значения, что и классические скобки.
                                                     ∂
         Заметим, что коммутатор операторов          ∂x
                                                          и x̂ равен единице. Тогда, выбирая оператор p̂j
в виде
                                                          ~ ∂ψ(~r)
                                            p̂j ψ(~r) =            ,                                 (60)
                                                          i ∂xj
получим {pj , xj } = 1. Однако определение p̂j с помощью формулы (60) не является един-
ственно возможным. Очевидно, что добавление к оператору p̂j любой функции координат
fj (~r) не изменит значение коммутатора [pj , xj ]. Тогда для вектора импульса получаем фор-
мулу
                                                  ~
                                             p~ˆ = ∇ + f~(~r),                                       (61)
                                                  i
где f~(~r) – некоторый вектор с компонентами fj (~r). Но f~(~r) – не любая функция. Условие
{pj , xk } = 0 при j 6= k накладывает на компоненты вектора f~(~r) ограничение

                                     ∂fj   ∂fk
                                         −     = 0,           при j 6= k.                            (62)
                                     ∂xk ∂xj

Условие (62) можно записать в виде rot f~(~r) = 0, откуда следует, что вектор f~(~r) является
градиентом некоторой скалярной функции

                                              f~(~r) = ∇ϕ(~r).                                       (63)

         Таким образом коммутационные соотношения позволяют определить вид оператора
импульса с точностью до градиента некоторой скалярной функции. Однако неоднозначность
в определении оператора импульса может быть устранена с помощью унитарного преобразо-
вания волновой функции [1]
                                                          i
                                          ψ 0 (~r) = e− ~ ϕ(~r) ψ(~r).                               (64)

После проведения преобразования, оператор импульса примет вид,
                                                       ~
                                                  p~ˆ = ∇,                                           (65)
                                                       i
при этом вид оператора координаты не изменится. В квантовой механике обычно всегда пред-
полагается, что волновая функция выбрана таким образом, чтобы оператор импульса имел
вид (65). Отметим, что фиксация одного только вида оператора координаты не позволяет за-
фиксировать фазу волновой функции, поскольку распределение координат описывается квад-
ратом модуля волновой функции, а фаза остается неопределенной. После фиксации вида опе-
ратора импульса произвол в определении фазы практически исчезает.7 Необходимо отметить,
что фаза волновой функции несет в себе важную информацию о распределении вероятностей
  7
      Фаза получается определена с точностью до аддитивной постоянной.